Gleichung umschreiben

12.02.2025, 23:06

Mathefreund 10

Gleichung umschreiben

Hallo liebe Mathefreunde,

zerbreche mir über folgende Umformung den Kopf:

Wurzel((2+Wurzel 3)/4)

ist dasselbe wie:

(Wurzel 6 + Wurzel 2)/4

Habe es mit Beseitigen der Wurzel im Nenner versucht, komme aber nicht auf die Endumformung.

Kann mir jemand weiterhelfen? Danke.

VG, Mathefreund10

13.02.2025, 05:01

Leopold

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Du könntest die zweite Darstellung quadrieren und überlegen, warum sich daraus der Radikand der ersten Darstellung ergibt. Letztlich steckt eine binomische Formel dahinter.

13.02.2025, 07:23

HAL 9000

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Bei dem Wert klingelt was, richtig: $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$

Bei der Berechnung via $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)} \end{eqnarray*}$ stößt man zunächst auf obige Doppelwurzel, ja.

13.02.2025, 09:35

Mathefreund10

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Hallo Leopold,
Das habe ich schon probiert

(8 + Wurzel48)/16.
Nur komme ich so noch nicht weiter.

13.02.2025, 09:38

Mathefreund10

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Ok, jetzt habe ich es raus. Prima

13.02.2025, 09:44

Mathefreund10

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Verstehe allerdings immer noch nicht, wie man auf den letzten Schritt kommt.

13.02.2025, 09:46

adiutor62

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Wenn du beide Terme gleichsetzt, quadrierst und zusammenfasst, entsteht eine wahre Aussage.
Vlt. meinte Leopold das.

13.02.2025, 09:50

Mathefreund10

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Das habe ich alles so gemacht und hinbekommen. Mein Problem ist nur, erstmal überhaupt auf die zweite Gleichung zu kommen.

13.02.2025, 10:02

Mathefreund10

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Also die 2. Gleichung war nicht vorgegeben.

13.02.2025, 10:16

HAL 9000

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Für "drauf kommen" gibt es keine fertige Berechnungsvorschrift. Mit geübtem Blick erkennt man $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{3})^2 = 4+2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , was mit Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ versehen dem ursprünglichen Radikandenterm entspricht. Folglich bekommt man

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \frac{(1+\sqrt{3})\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Es ist ja nun auch nicht so, dass die Auflösung einer Doppelwurzel stets so gelingt. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray*}$ , aber bei $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \end{eqnarray*}$ ist keine Auflösung der Doppelwurzel möglich.

13.02.2025, 10:28

Mathefreund10

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Geht das auch noch einfacher? Stoff Klasse 10 ist das.

13.02.2025, 11:00

adiutor62

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$\begin{eqnarray*} Mit geübtem Blick erkennt man \end{eqnarray*}$
Wieviel % der Schüler:innen haben diesen?
Aus welchem Bereich kommt die Übung?

13.02.2025, 11:03

Leopold

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$\begin{align*} \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{\left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right)^2}{4^2} = \frac{6+2 + 2 \sqrt{6} \sqrt{2}}{16} = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \end{align*}$

Folgerung:

$\begin{align*} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \end{align*}$

13.02.2025, 11:08

Mathefreund10

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Das verstehe ich alles Leopold, ich brauche allerdings die Rechnung andersrum. Ich halte das für Klasse 10 für viel zu komplex.

13.02.2025, 11:11

Mathefreund10

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Die Aufgabe kommt aus dem Bereich Winkelfunktionen.

13.02.2025, 11:28

adiutor62

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In welche Klasse gehst du?

13.02.2025, 11:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathefreund10
Die Aufgabe kommt aus dem Bereich Winkelfunktionen.

Das ist ja das allerneueste... So gut liest du Beiträge, das habe ich 8:23 schon angesprochen.

Und was die Formel betrifft: Wie dünn erwartest du das Brett denn noch? Man könnte natürlich ansetzen $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = a+b\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ in der Hoffnung auf "doppelwurzelfreie" $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , idealerweise sogar rational. Quadrieren ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{2+\sqrt{3}}{4} = a^2+3b^2+2ab\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Hinreichend dafür wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = a^2+3b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} = ab \end{eqnarray*}$

Hier nun $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{8a} \end{eqnarray*}$ in die erste Gleichung eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} a^2 + \frac{3}{64a^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , umgestellt

$\begin{eqnarray*} a^4 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{64} = 0 \end{eqnarray*}$ . Diese quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen

$\begin{eqnarray*} a^2 = \frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16}-\frac{3}{64}} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Wir brauchen nicht alle Lösungen, eine genügt. Da nehmen wir etwa den Minuszweig sowie $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und erhalten $\begin{eqnarray*} a= \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{8a} = \frac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$ , was insgesamt zu

$\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \end{eqnarray*}$

führt. Jetzt wirst du bestimmt wieder bemängeln "zu schwer/aufwändig für Klasse 10". Was soll man da sagen: Entweder Intuition (siehe mein voriger Beitrag) oder mühsame Arbeit (siehe eben beendete Rechnung). Wenn einem beides nicht gefällt, dann kriegt man die Darstellung eben nicht raus.

13.02.2025, 11:45

adiutor62

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Ist das wirklich eine Aufgabe auf Schulniveau?
Daran würden doch auch manche Studenten zu beißen haben, oder?

13.02.2025, 12:15

HAL 9000

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Ich habe das auch nur gepostet, weil Mathefreund10 wiederholt seine Unzufriedenheit mit der bloßen Probe (wie sie Leopold ausführlich dargelegt hatte) bekundet hatte. Denke auch, dass man einem normalen Zehntklässler nicht mehr abverlangen kann, gibt sicher wichtigere Themen als diese ausgiebige Wurzel-Jonglierei. Augenzwinkern

13.02.2025, 13:07

Mathefreund10

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Danke HAL.

13.02.2025, 13:24

Leopold

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Zitat:

Original von Mathefreund10
Das verstehe ich alles Leopold, ich brauche allerdings die Rechnung andersrum. Ich halte das für Klasse 10 für viel zu komplex.

Das ist sicher keine Aufgabe für den 08-15-Schüler, schon gar nicht für die, die auch in der 10. Klasse noch meinen, daß $\begin{align*} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \end{align*}$ ist, von denen es heutzutage unzählige gibt. Letztlich steckt aber nur die für positive reelle $\begin{align*} a,b \end{align*}$ gültige Äquivalenz dahinter:

$\begin{align*} a^2 = b \ \ \Leftrightarrow \ \ a = \sqrt{b} \end{align*}$

Das ist nichts anderes als die Definition der Wurzel. Und beim konkreten Rechnen muß man sich noch an die binomische Formel und die Verträglichkeit des Wurzelziehens mit den Punktrechenarten erinnern. Für die Schüler mit etwas mehr mathematischer Begabung sollte das eine zu bewältigende Herausforderung sein. Man darf an solchen Herausforderungen auch scheitern. Und manche lernen bei ihrem Scheitern sogar noch etwas.

13.02.2025, 14:04

Mathefreund10

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Das hat nichts mit dünnem Brett bohren zu tun HAL. Nur welcher Schüler in der 10. Klasse kommt auf sowas?

Danke auch dir Leopold.

13.02.2025, 14:14

HAL 9000

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Wie war denn der genaue Wortlaut der Aufgabe?

Oder noch präziser: Wenn es etwa nur darum geht, $\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, dann wäre ja Antwort $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} \end{eqnarray*}$ durchaus auch richtig. Was veranlasst dich also zu glauben, dass unbedingt die Darstellung $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}$ angegeben werden musste?

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