Monoton steigend oder streng monoton steigend

13.02.2025, 20:26

andyrue

Monoton steigend oder streng monoton steigend

h@llo,

bisher dachte ich f(x) = x + sin(x) sei monoton steigend, weil die steigung stets größer/gleich Null ist.

streng monoton steigend ist also eine funktion, deren ableitung stets größer Null ist (laut dem, was zumindest in schulbüchern steht ...)

nun sagt eine KI (deepseek) zu mir: f(x) = x + sin(x) ist streng monoton steigend,

weil f(u) > f(v) für alle u > v ist

liegt das an einer asiatischen auslegung von mathe?

13.02.2025, 20:35

Steffen Bühler

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RE: Monoton steigend oder streng monoton steigend
Wiki sieht das ebenfalls asiatisch:

Zitat:

Es gibt auch streng monotone Funktionen, deren Ableitung null wird.

13.02.2025, 20:47

HAL 9000

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Monotonie ist so definiert, wie es deepseek sagt (dass ich mal eine KI lobe...)

Charakterisierungen über die Ableitung sind allenfalls hinreichend.

Typisches Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ : Das ist eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsende Funktion "trotz" $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Denn ausschlaggebend ist, dass $\begin{eqnarray*} x_1^3 < x_2^3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ gilt, nicht irgendwelche isolierten Nullstellen der Ableitung.

Zudem ist es keineswegs notwendig, dass eine (streng) monotone Funktion überall differenzierbar ist - beispielsweise hat die monotone stetige Cantorfunktion zahlreiche Nichtdifferenzierbarkeitsstellen.

EDIT: Hier noch eine nette differenzierbare Funktion, die streng monoton wachsend ist, deren Ableitung aber in jeder Nullumgebung unendlich viele Nullstellen besitzt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1_{\mathbb{R}\setminus\{0\}}\cdot \left( 2x^3\sin^2\left(\frac{1}{x}\right) + x^2\sin\left(\frac{2}{x}\right)+2x\right) \end{eqnarray*}$

mit Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1_{\mathbb{R}\setminus\{0\}}\cdot \left(6x^2+4\right)\sin^2\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ .

14.02.2025, 00:40

Luftikus

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Hinreichend dürfte aber für eine differenzierbare (reelle) Funktion auf einem Intervall sein, dass die erste Ableitung keine Nullstelle hat. Denn wäre diese Funktion nicht injektiv, müsste die erste Ableitung nach dem Satz von Rolle eine Nullstelle haben. Wenn sie als stetige Funktion injektiv ist, ist sie aber auch streng monoton.

14.02.2025, 06:14

HAL 9000

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Ein relativ weit reichendes hinreichendes Kriterium (auch wenn es mein letztgenanntes exotisches Beispiel nicht abdeckt) für strenge Monotonie bei differenzierbaren Funktionen ist dies:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f:~D\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine stetige und auf $\begin{eqnarray*} D\setminus N \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion, dabei ist $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Intervall sowie $\begin{eqnarray*} N\subset D \end{eqnarray*}$ eine Menge derart, dass $\begin{eqnarray*} N\cap I \end{eqnarray*}$ endlich für jedes beschränkte Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist. Gilt nun $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D\setminus N \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend.

Beweis: Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} N\cap (a,b) = \{ x_1,\ldots,x_n\} \end{eqnarray*}$ mit aufsteigend geordneten $\begin{eqnarray*} x_1<x_2<\ldots<x_n \end{eqnarray*}$ , gegebenenfalls ist auch $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ , also keine Nullstellen.

Setzen wir $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=b \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ in allen offenen Intervallen $\begin{eqnarray*} \left(x_k,x_{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ , was laut Mittelwertsatz

$\begin{eqnarray*} f\left(x_{k+1}\right) - f\left(x_k\right) = f'\left(\xi_k\right)\cdot \left(x_{k+1}-x_k\right) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$

bedeutet, was zusammengefasst zu $\begin{eqnarray*} f(a) = f\left(x_0\right) < f\left(x_1\right) < \ldots < f\left(x_{n+1}\right) = f(b) \end{eqnarray*}$ führt.

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Passt exakt auf die Funktion $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x+\sin(x) \end{eqnarray*}$ aus dem Eröffnungsposting: Für die ist $\begin{eqnarray*} D=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)=1+\cos(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in D\setminus N \end{eqnarray*}$ mit der Nullstellenmenge $\begin{eqnarray*} N = \left\{ (2k+1)\pi \mid k\in\mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$ der Ableitung.

Anzumerken ist auch, dass an den Stellen aus $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auch gar keine Differenzierbarkeit vorliegen muss, wie beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x + |x| \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. das Kriterium kann auch auf bestimmte Funktionen mit "Knickstellen" angewandt werden.

14.02.2025, 10:14

IfindU

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@HAL Ich denke du näherst dich hier dem Begriff der absoluten Stetigkeit. Ich denke das umfasst dein Spezialfall (man braucht dann nur noch $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Nullmenge). Natürlich bietet die Cantorfunktion nicht einmal eine schwache Ableitung in der Form... Die Ableitung ist "nur" ein anderes Maß.

Eine Sache von Luftikus und HAL möchte ich auch noch expliziter hervorheben: Intervalle! Immer wenn man von der Ableitung auf auf Monotonieverhalten schließen will, braucht man das oder eine ähnliche Eigenschaft. Das liegt daran, dass Monotonie eine globale Eigenschaft ist und Ableitungen eine lokale.

Der Hauptsatz sagt uns, dass uns die Summe aller lokalen Änderungen zu den globalen Änderungen führen: $\begin{eqnarray*} f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx \end{eqnarray*}$ . Aber das gilt eben nur in bestimmten Situationen.

So ist die Funktion

eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Z \end{eqnarray*}$ überall differenzierbar mit Ableitung 0. Aber sie ist sicher nicht monoton, geschweige konstant. Und kein Mathematiker, chinesisch oder anderweitig, würde das von der Funktion behaupten anhand der Ableitung.

14.02.2025, 11:21

HAL 9000

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Ich hab die Sache abgeschwächt, um sie einfach beweisbar zu halten, und dennoch eine große Zahl von Fällen abdeckt.

14.02.2025, 17:14

andyrue

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habe eine frage zur oben geposteten funktion

bedeutet dieser term mit der 1 vor der klammer, dass die funktion die definitionsmenge

$\begin{eqnarray*} D= \mathbb R ohnedieNull \end{eqnarray*}$

weil ich diese darstellung noch nie gesehen habe

14.02.2025, 19:17

HAL 9000

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Ja, ist auch nicht ganz korrekt: Ich hätte $\begin{eqnarray*} 1_{\mathbb{R}\setminus\{0\}}(x) \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} 1_{\mathbb{R}\setminus\{0\}} \end{eqnarray*}$ schreiben müssen - gemeint ist eine Indikatorfunktion.

Wenn dich diese Darstellung stört, dann ersetze sie gedanklich durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 &\mbox{ für }x=0\\ 2x^3\sin^2\left(\frac{1}{x}\right) + x^2\sin\left(\frac{2}{x}\right)+2x &\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Warum zitierst du mit einem Screenshot??? Verwende doch besser [ quote]...[/quote].

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