Umschriebenes Sechseck - Wieso ist der Umfang länger als der Kreisumfang

18.02.2025, 16:11

István Piggalotov

Umschriebenes Sechseck - Wieso ist der Umfang länger als der Kreisumfang

Meine Frage:
Servus allerseits!
Einem Kreis mit Durchmesser d=1 wird ein Sechseck eingeschrieben und ein weiteres Sechseck umschrieben, um Pi zu einzuschranken - so weit, so bekannt.

Wie kann ich schlüssig beweisen / erklären, dass der äußere Umfang größer ist als der Kreisumfang.
Je näher ich mir das anschaue, um so weniger offensichtlich scheint es mir.

Meine Ideen:
Für den Innenkreis ist es logisch. Eine der sechs Seiten verbindet geradlinig zwei Punkte auf dem Kreis.
Der Kreisbogen mit mit Innenwinkel 60° , der ja einen "Umweg" macht, ist also sicher länger als diese Sehen (mit Länge = Radius = 0,5)

Vom äußeren 6-eck betrachte ich jetzt eine Seite. Sie verbindet zwei Punkte - die NICHT auf der Kreislinie liegen.
Der "nicht geradlinige" Kreisbogen verbindet zwei Punkte, deren Abstand geringer ist als die Seitenlänge des äußeren 6ecks.
Aber - eben - der Kreisbogen ist "gebogen" und könnte ja theoretisch wegen seiner "Gebogenheit" länger sein als die Seitenlänge des äußeren 6ecks.
Bild dazu: https://www.mathe-lexikon.at/media/advanced_pictures/pi1.jpg

18.02.2025, 16:27

Steffen Bühler

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RE: Umschriebenes Sechseck - Wieso ist der Umfang länger als der Kreisumfang
Willkommen im Matheboard!

Betrachte besser zwei Punkte, in denen das äußere Sechseck den Kreis berührt. Jeder Radfahrer wird Dir bestätigen, dass es kürzer ist, über den Kreisbogen von einem Punkt zum anderen zu kommen als über die zwei halben Sechseckkanten.

Viele Grüße
Steffen

18.02.2025, 17:20

Luftikus

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RE: Umschriebenes Sechseck - Wieso ist der Umfang länger als der Kreisumfang

Zitat:

Original von István Piggalotov
Meine Frage:
Wie kann ich schlüssig beweisen / erklären, dass der äußere Umfang größer ist als der Kreisumfang.
Je näher ich mir das anschaue, um so weniger offensichtlich scheint es mir.

Betrachte doch einfach mal zu einem n-Umfangspolygon mit Teilwinkel 2*pi/n die Bogenlänge des Kreises und Länge einer Umfangspolygonseite..

18.02.2025, 18:49

Leopold

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@Luftikus

Ich glaube nicht, daß dein Vorschlag im Sinne des Fragestellers ist. Ich vermute nämlich, daß der Wert von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ nicht als bekannt vorausgesetzt wird, sondern gerade durch eine Intervallschachtelung berechnet werden soll.

Mit $\begin{align*} u_n,f_n \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} U_n,F_n \end{align*}$ seien Umfang und Flächeninhalt des dem Einheitskreis ein- beziehungsweise umbeschriebenen regelmäßigen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks bezeichnet. $\begin{align*} h_n \end{align*}$ (Höhe) sei die Länge einer Lotstrecke vom Kreismittelpunkt auf eine Seite des einbeschriebenen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks.

Der Streckfaktor vom ein- auf das umbeschriebene $\begin{align*} n \end{align*}$ -Eck ist $\begin{align*} \frac{1}{h_n} \end{align*}$ , so daß gilt

$\begin{align*} U_n = \frac{u_n}{h_n} \end{align*}$

Weiter ist $\begin{align*} f_n = \frac{1}{2} u_n h_n \end{align*}$ , folglich

$\begin{align*} F_n = f_n \cdot \left( \frac{1}{h_n} \right)^2 = \frac{1}{2} u_n h_n \cdot \left( \frac{1}{h_n} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{u_n}{h_n} = \frac{1}{2} U_n \end{align*}$

Nun sei mit $\begin{align*} \pi \end{align*}$ die unbekannte Flächenmaßzahl des Einheitskreises bezeichnet. Es sei bekannt, daß dann $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ die Maßzahl des Umfangs ist. Dann folgt:

$\begin{align*} \pi < F_n \ \ \Leftrightarrow \ \ \pi < \frac{1}{2}U_n \ \ \Leftrightarrow \ \ 2 \pi < U_n \end{align*}$

Aber vielleicht genügt ja auch Steffens "Radfahrer-Beweis".

18.02.2025, 19:17

HAL 9000

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Siehe Skizze:

[attach]58125[/attach]

Sei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Bogenlänge des Bogens $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , außerdem $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Öffnungswinkel und $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ die Fläche des Kreissektors $\begin{eqnarray*} OAB \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ die Fläche des Dreiecks $\begin{eqnarray*} OAC \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} F_1 = \frac{r^2}{2}\varphi = \frac{rb}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F_2 = \frac{r\cdot |AC|}{2} \end{eqnarray*}$ , und damit folgt aus dem offenkundig geltenden $\begin{eqnarray*} F_1 < F_2 \end{eqnarray*}$ sofort auch $\begin{eqnarray*} b < |AC| \end{eqnarray*}$ .

Eine direkte Folgerung ist, dass für alle Vielecke mit Inkreis (auch "Tangentenvielecke" genannt) der Inkreisumfang kleiner als der Vieleckumfang ist, speziell gilt das dann natürlich auch für die regelmäßigen Vielecke.

18.02.2025, 20:12

SC/MP

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Schulmathematik » Geometrie » Umschriebenes Sechseck - Wieso ist der Umfang länger als der Kreisumf
Die Skizze eines gestützten Beweises

Ein Sechseck hat Ecken und Kanten (Seiten). Ich darf ein Sechseck beliebig im Raum positionieren, um Maß daran zu nehmen. Wird in ein einem Sechseck von der Mitte einer Seite bis zur Mitte einer angrenzenden Seite eine Strecke gezeichnet, dann erhält man eine Seite eines inneren Sechsecks, das um das Zentrum um 30° gegen das äußere Sechseck gedreht ist. Wiederholt man dies für alle Seiten, dann erhält man ein vollständig gezeichnetes inneres Sechseck. Messe ich vom Zentrum aus die Länge der Strecke zu allen Ecken des inneren Sechsecks , die gleichzeitig Berührungspunkte mit dem äußeren Sechseck sind, dann sind alle Strecken vom Zentrum aus gemessen gleich lang. Das bedeutet, dass alle Berührungspunkte auf einer Kreislinie liegen. Das innere Secheck ist kleiner als das äußere Sechseck. Der Verlauf der Kreislinie liegt zwischen dem inneren und dem äußeren Sechseck. Das bedeutet, dass die Kreisfläche größer als die Fläche des inneren Sechsecks ist, aber kleiner als die Fläche des äußeren Sechsecks.

Jetzt hat man eine erklärtermaßen stabile Basis des gesuchten Beweises ohne Zirkelschluß in dem die Kreiszahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ direkt oder indirekt verwendet wird.

18.02.2025, 20:41

István Piggalotov

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DANKE an alle!
Der Radfahrer-Beweis und der Beweis der den Wert von Pi vewendet, waren tatsächlich nicht, das was ich suchte, aber auch dafür Danke, Steffen und Luftikus!

Leopold, HAL 9000, SC/MP, spannend, eure Erklärungen - ihr verwendet alle auch die Fläche des Kreises / Kreisbogens.
Ohne Fläche, nur mit Bogen/Länge geht das nicht?

Jedenfalls bin ich etwas beruhigt, dass das soooo einfach zu beantworten nicht war.
Und berührt über so viel Response hier!
DANKE

19.02.2025, 04:58

Leopold

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Ich habe im Unterricht oft die folgende Intervallschachtelung für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ verwendet. Die Formeln lassen sich alle mit Hilfe ähnlicher Dreiecke herleiten.

Es seien $\begin{align*} p, P \end{align*}$ die halben Umfänge des dem Einheitskreis ein- beziehungsweise umbeschriebenen regelmäßigen Polygons und $\begin{align*} h \end{align*}$ die Länge einer Lotstrecke vom Mittelpunkt des Kreises auf eine Seite des einbeschriebenen Polygons. Bei Verdoppelung der Eckenzahl werden die Größen mit einem Strich gekennzeichnet. Dann gelten die Beziehungen

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ P = \frac{p}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ h' = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + h \right)} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ p' = \frac{p}{h'} \end{align*}$

Die Formeln $\begin{align*} \text{(2),(3)} \end{align*}$ treiben die Iteration voran, die Formel $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ braucht nicht bei jedem Iterationsschritt ausgewertet zu werden.

Man kann zum Beispiel mit dem Quadrat beginnen. Die Startwerte sind

$\begin{align*} p = p_4 = 2 \sqrt{2} \end{align*}$ (halber Umfang des einbeschriebenen Quadrats) und $\begin{align*} h = h_4 = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$ .

Man erhält die Intervallschachtelung $\begin{align*} \left[ p_4, P_4 \right], \, \left[ p_8, P_8 \right], \, \left[ p_{16}, P_{16} \right], \, \ldots \end{align*}$ für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Die Rechnung läuft auf das Vieta-Produkt hinaus.

Oder man beginnt wie Archimedes mit dem regelmäßigen Sechseck und den Werten

$\begin{align*} p = p_6 = 3 \, , \ h = h_6 = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

Und wo ich das geschrieben habe, ist mir eingefallen, daß ich das schon einmal erzählt hatte:

Intervallschachtelung für $\begin{align*} \pi \end{align*}$

19.02.2025, 09:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von István Piggalotov
Ohne Fläche, nur mit Bogen/Länge geht das nicht?

Naja, da sind ja genau die berechtigten Bedenken, die du in deinem Eröffnungsbeitrag geschildert hast: Wie weist man nach, dass eine "nicht geradlinige" Kurve kürzer ist als eine Strecke dort irgendwo in der Nachbarschaft, und da bietet sich eben der Weg über die Fläche an.

Der bei diesen Wegen genutzte Zusammenhang $\begin{eqnarray*} F = \frac{br}{2} \end{eqnarray*}$ für den Kreissektor (speziell dann auch für den Vollkreis, wobei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ dort dann der Umfang ist) ist dabei der Schlüssel zum Beweis. Bleibt die Frage, inwieweit man das (evtl. auch mit "Umgehung" von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) auch noch begründen will/muss.

In der anderen Richtung (Umkreis statt Inkreis) ist es kein Problem: Gemäß "die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte" ist klar, dass diese kürzer ist als irgendein Bogen, der die beiden Streckenendpunkte verbindet - und damit der Umkreisumfang auch größer als der Vieleckumfang.

19.02.2025, 11:15

Luftikus

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RE: DANKE an alle!

Zitat:

Original von István Piggalotov
Ohne Fläche, nur mit Bogen/Länge geht das nicht?

Es kommt drauf an, was dir da als Beweis gilt..
Mit der Skizze oben von HAL
folgt es zB. direkt (Kreisradius r=1, Kreisbogen s):

s < tan(s)

20.02.2025, 05:23

Leopold

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Im Anhang eine kleine Spielerei mit einem "optischen Beweis".

Zum Anschauen muß das Programm "Euklid" installiert werden (für Windows-Systeme). Leider ist der Entwickler verstorben, und das Programm wird nicht mehr gepflegt. Man kann es aber immer noch auf der Homepage

https://www.dynageo.de/

finden. Leider funktionieren die Links zum Starten des Downloads nicht mehr, aber das zip-Archiv kann weiterhin heruntergeladen werden (gelber Button). Man muß auf seinem Rechner einen Ordner mit dem Namen DynaGeo erzeugen und das Archiv in diesen Ordner entpacken. Dann kann man dynageo.exe starten und die Datei "Bogen und Strecke" laden.

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