Lostrommel mit Nieten und Gewinnlosen

19.02.2025, 15:30	Pynchon	Auf diesen Beitrag antworten »
Lostrommel mit Nieten und Gewinnlosen Meine Frage: Folgende Aufgabe war ebenfalls Teil einer Matheklausur in der gymnasialen Oberstufe: In einer Lostrommel befinden sich 80 % Nieten und 20 % Gewinnlose. Ein Mann will so lange ein Los kaufen, bis er ein Gewinnlos gezogen hat, höchstens aber 5 Lose. (Hinweis: Da die Zahl der Lose sehr groß ist, kann man davon ausgehen, dass sich die Wahrscheinlichkeit durch die Ziehung nicht ändert) Mit welchen Ausgaben muss der Mann im Durchschnitt rechnen, wenn ein Los 2 Euro kostet? Meine Ideen: Man kann ein Baumdiagramm zeichnen, welches den Spielverlauf beschreibt: p=0,8 (Nieten), p=0,2 (Gewinnlose). Vom Zweig Nieten gehen wieder p=0,8 zu den Nieten, p=0,2 zu den Gewinnlosen usw. (bis 5 Lose erreicht sind).
19.02.2025, 16:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal ist festzuhalten, dass es nur um die Ausgaben geht, d.h., ohne Verrechnung mit dem evtl. Gewinn (der hier in seiner Höhe ja auch gar nicht angegeben ist). Der Erwartungswert der Ausgaben ist nun $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^5 p_k\cdot 2k \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,4 \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -te Los gewinnt, während $\begin{eqnarray} p_5 \end{eqnarray}$ die Restwahrscheinlichkeit für den Kauf von 5 Losen ist (egal ob dieses letzte Los gewinnt oder nicht). Diese $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ -Werte solltest du deinem Baumdiagramm entnehmen können.
20.02.2025, 07:24	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
oder so: T = Treffer N= Niete Berechne die WKTen für: T, NT, NNT, NNNT, NNNNT und beachte dabei den Einsatz. Der Erwartungswert E(X) der Ausgaben ist die gewichtete Summe der Ausgaben, wobei die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Möglichkeite die Gewichtung darstellen.
20.02.2025, 09:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine allgemeinere, baumfreie Betrachtung zu derartigen "mit Timeout" versehenen geometrisch verteilten Zufallsgrößen: Sei $\begin{eqnarray} X\sim\operatorname{Geo}(p) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} Y = \min(X,m) \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} E(Y) = \sum_{k=1}^{\infty} P(Y\geq k) \stackrel{!}{=} \sum_{k=1}^m P(X\geq k) = \sum_{k=1}^m (1-p)^{k-1} = \frac{1-(1-p)^m}{p} \end{eqnarray}$ . In unserem Fall hier ist $\begin{eqnarray} p=0.2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} m=5 \end{eqnarray}$ . Zu beachten ist, dass dabei $\begin{eqnarray} E(Y) \end{eqnarray}$ nur die durchschnittliche gekaufte Losanzahl angibt - für die durchschnittlichen Ausgaben ist das natürlich noch mit dem Einsatz 2€ zu verrechnen.

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