Addition auf elliptischen Kurven

23.02.2025, 23:03

Malcang

Addition auf elliptischen Kurven

Da bin ich wieder smile

Ich habe folgende elliptische Kurve gegeben: $\begin{eqnarray*} E_0 = \{ (x,y)\in\mathbb R^2 \mid y^2 = x^3 - 43x+166\} \end{eqnarray*}$ .
Nun soll ich die Ordnung des Punktes $\begin{eqnarray*} P = (3,8) \end{eqnarray*}$ berechnen.
Ich rechne also $\begin{eqnarray*} 2\cdot (3,8) =(-5, -16), 3\cdot (3,8) = (11,-32) \text{ und } 4\cdot (3,8) = (11,32). \end{eqnarray*}$ Ich sehe also: $\begin{eqnarray*} 4\cdot P = -3P. \end{eqnarray*}$
Darf ich nun die Umformung $\begin{eqnarray*} 4P = -3P \Leftrightarrow 7P = 0 \end{eqnarray*}$ (unendlich ferne Punkt) machen? verwirrt

Ich weiß, dass 7 die richtige Antwort ist, aber in der Musterlösung der Aufgabe wurde stur 5P, 6P, 7P berechnet.

24.02.2025, 09:21

Elvis

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Geht wegen P+P+P+P=(-P)+(-P)+(-P) und P+(-P)=(-P)+P=O [kommutativ], indem man in der ersten Gleichung drei mal P auf beiden Seiten addiert [assoziativ]. In abelschen Gruppen ist das kein Problem. Muss man nur noch -(3*P)=3*(-P) begründen, was auch über [assoziativ] und [kommutativ] geht: (P+P+P)+((-P)+(-P)+(-P))=O, beachte die [Eindeutigkeit des inversen Elements].

24.02.2025, 09:56

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Dann sollte man noch einen (kurzen) Gedanken verschwenden, warum 5P und 6P nicht Null sein können, wenn 7P=0 ist.

24.02.2025, 11:14

Elvis

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Aus 4P=-3P folgt durch einmalige und zweimalige Addition von P: 5P=-2P und 6P=-P. (Kann man noch kürzer denken?)

24.02.2025, 12:05

IfindU

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@Elvis Schön gemacht, ich vermute man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 7P = 0 \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} k P = 0 \end{eqnarray*}$ nur wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Teiler oder Vielfaches von 7 ist.

Zum Beweis: Man kann auch direkt $\begin{eqnarray*} 7P = (4+3)P = 4P + 3P = -3P + 3P = 0 \end{eqnarray*}$ rechnen, wobei man das Distributivgesetz braucht.

24.02.2025, 12:40

Elvis

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Ja man kann mit dem "Distibutivgesetz" arbeiten, aber das muss man dann über den Gruppenring oder allgemeiner den Monoidring ( https://de.m.wikipedia.org/wiki/Monoidring ) definieren, hier mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[G] \end{eqnarray*}$ . Ich war mir nicht sicher, ob ich das bei Malcang voraussetzen darf. Wäre ihm das bekannt, hätte er die Frage nicht stellen müssen.

24.02.2025, 13:00

IfindU

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Das Distributivgesetz für die ganzen Zahlen an der Stelle, ist ja "nur" das Assoziativgesetz für die elliptischen Punkte. $\begin{eqnarray*} (n+m)P = nP + mP \end{eqnarray*}$ sagt ja nur, dass $\begin{eqnarray*} \underbrace{P+P+\ldots+P}_{(n+m)\text{-mal}} = \Big(\underbrace{P+P+\ldots+P}_{n\text{-mal}} \Big)+ \Big (\underbrace{P+P+\ldots+P}_{m\text{-mal}} \Big) \end{eqnarray*}$ .

24.02.2025, 14:46

Elvis

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Das ist nur die halbe Wahrheit, zur ganzen Wahrheit gehören ganzrationale und nicht nur positive Koeffizienten. Außerdem muss man noch (-1)*P=-P für alle P in G und 0*P=O und (-n)*P=n*(-P) für alle ganzrationalen n und alle P in G definieren oder beweisen. Da kann man besser gleich das Distributivgesetz im Gruppenring als Axiom benutzen.

24.02.2025, 20:46

IfindU

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Ich brauche ja nur das folgende:

Zitat:

Original von IfindU
Zum Beweis: Man kann auch direkt $\begin{eqnarray*} 7P = (4+3)P = 4P + 3P = -3P + 3P = 0 \end{eqnarray*}$ rechnen, wobei man das Distributivgesetz braucht.

Ich hätte es einfach Assoziativgesetz nennen sollen. Mehr braucht man, wie gesagt, nicht für die zweite Gleichheit hier.

24.02.2025, 21:36

Elvis

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Stimmt, alles ganz einfach in der Gruppe. Deswegen habe ich das ganz zu Anfang ohne großen Aufwand geschafft. Zusätzliche Regeln braucht man nicht.

24.02.2025, 22:05

Malcang

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Hallo ihr beiden,

vielen Dank für den vielen Input. Ich finde es toll, dass so eine weitreichende Diskussion entstanden ist aus dieser einfachen Frage. Die ist übrigens umfassend beantwortet und hat viel weiter geführt, danke dafür Big Laugh

Eine Frage habe ich aber noch: Ich weiß ja, wie man die Addition zweier Punkte auf einer elliptischen Kurve geometrisch auslegt. Lege eine Gerade durch P und Q und suche den Schnittpunkt. Aber wieso nehme ich von diesem Schnittpunkt dann eigentlich das Negative?

24.02.2025, 23:07

IfindU

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Sonst wäre $\begin{eqnarray*} P + 0 = -P \end{eqnarray*}$ .

25.02.2025, 08:43

Elvis

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... weil die senkrechte Gerade durch P die elliptische Kurve in einem weiteren Punkt Q schneidet, der nicht gleich P ist. Es muss aber ein neutrales Element O geben mit P+O=O+P=P.
Übrigens habe ich gemerkt, dass man auf die Kommutativität der Gruppe verzichten kann, wenn man in meiner allerersten Gleichung $\begin{eqnarray*} X=Y\Rightarrow P+X=P+Y \end{eqnarray*}$ benutzt, also auf beiden Seiten links statt rechts addiert. Insofern sagt IfindU völlig zu Recht, dass alles auf die Assoziativität zurück geführt werden kann.

25.02.2025, 15:00

Malcang

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Super, vielen Dank! smile

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