Dreieck-Kreis-Problem

26.02.2025, 04:09

voessli

Dreieck-Kreis-Problem

Also, hier jetzt mal eine wirlich schwierige Aufgabe.
An den unteren Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks sollen die Mittelpunkte von 2 Kreisen gezeichnet werden, welche die gegenüberliegenden Seiten berühren.
Wie groß ist die obere Spitze?

r x Pi/4 x Wurzel 3 scheint nicht richtig zu sein

[attach]58133[/attach]

26.02.2025, 07:42

HAL 9000

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Die Aufgabe ist nicht schwierig, sondern unterbestimmt:

Für jedes gleichschenklige Dreieck mit Basiswinkeln größer 45 Grad kann man solche Kreise einzeichnen.

[attach]58134[/attach]

Oder auch in Formeln: Sei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der gemeinsame Radius beider Kreise sowie $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Länge der Basisseite des gleichschenkligen Dreiecks, wobei $\begin{eqnarray*} r < c < \sqrt{2}r \end{eqnarray*}$ gelten möge.

Dann ist $\begin{eqnarray*} h_c = \frac{cr}{2\sqrt{c^2-r^2}} \end{eqnarray*}$ ; im Extremfall $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{2}r \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ minimal $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2}r \end{eqnarray*}$ , das passiert beim gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck, wo beide Kreisberührpunkte mit der Dreiecksspitze zusammenfallen. In der anderen Richung, d.h. $\begin{eqnarray*} c\downarrow r \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ beliebig groß werden.

Die Berührpunkte liegen genau dann auf der Mitte ihrer jeweiligen Dreiecksseiten, falls das Dreieck gleichseitig ist, dort ist $\begin{eqnarray*} c=\frac{2}{3}\sqrt{3}r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_c=r \end{eqnarray*}$ .

Hast du also möglicherweise noch eine Bedingung vergessen zu nennen?

26.02.2025, 17:35

voessli

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Ich habe es soweit gelößt. Der obere Teil der Spitze hat die Länge 1 - Wurzel aus Dreiviertel. Und die komplette Spitze läßt sich aus dem Dreieck minus dem Sechstel des Kreises errechnen: Pi r²/12 - r/4

PS. ich meinte natürlich ein gleichseitiges Dreieck

26.02.2025, 18:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von voessli
PS. ich meinte natürlich ein gleichseitiges Dreieck

Was ist daran "natürlich", gleichseitig zu meinen wenn man gleichschenklig schreibt? verwirrt

Und "wie groß ist eine Spitze" ist auch nicht gerade ein Ausbund an exakter Formulierung: Ist da irgendeine Länge gemeint? Oder eine Fläche? Ich weiß es nicht.

26.02.2025, 21:57

voessli

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Mit Spitze meine ich die Fläche ganz oben. Diese unterteilt sich in einen oberen Teil (gleichseitig) und einen unteren "gebogenen" Teil.

Ja, ich war auch genervt als Chat-GPT mir die Frage stellte und ständig seine "Erkenntnisse" änderte. Aber ich finde diese Aufgabe dennoch spannend, weil nur 2 Ideen für die Lösung unerlässlich sind.

- Das Verhältnis von Radius zur Seitenlänge
- Das Verhältnis von Kreissektor zum Dreieck

Nur nebenbei, ich habe immer gleichschenklig- und seitig miteinander verwechselt

26.02.2025, 23:13

HAL 9000

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Falls du diese rot gekennzeichnete Fläche meinst

[attach]58144[/attach]

deren Flächeninhalt ist $\begin{eqnarray*} F = \left[ \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3} + \arctan\left( \sqrt{2} \right) - \frac{\pi}{3} \right] r^2 \approx 0.014065r^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie man das berechnen kann: Wenn man mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise bezeichnet, dann ist die gesuchte Fläche gleich der Fläche des Vierecks $\begin{eqnarray*} ASBC \end{eqnarray*}$ abzüglich zweier Kreissektoren zum Winkel $\begin{eqnarray*} |\angle SAC| \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von voessli
Und die komplette Spitze läßt sich aus dem Dreieck minus dem Sechstel des Kreises errechnen: Pi r²/12 - r/4

Selbst wenn man das durch Pi r²/12 - r²/4 ersetzt, damit es auch wirklich zu einer Flächeneinheit wird, bleibt es Unsinn. Noch dazu steht deine Formel im Widerspruch zur vorherigen Texterklärung: "Dreieck minus dem Sechstel des Kreises" ergäbe von der Fläche her $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{3}r^2 - \frac{\pi}{6}r^2 \end{eqnarray*}$ .

Muss man sich aber nicht lange dran aufhalten, da ja beides falsch ist.

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