Multiple choice beim Jagdschein

07.03.2025, 16:06

laila49

Multiple choice beim Jagdschein

Meine Frage:
seit Tagen zerbreche ich mir den Kopf über eine mir zunächst leicht erscheinende Aufgabenstellung. Hintergrund ist, dass mein Sohn seinen Jagdschein gemacht hat,
Die schriftliche Prüfung war ein multiple choice Verfahren und zwar folgendermaßen.

Die Prüfung besteht aus 25 Fragen, von den m Fragen 6 und 25-m Fragen 5 Antwortmöglichkeiten haben. Bei jeder Frage ist mindestens eine Antwort richtig und mindestens eine falsch. Eine Frage gilt nur als richtig beantwortet, wenn alle richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind, sonst als falsch.

Die Prüfung ist bestanden, wenn 13 Fragen richtig beantwortet sind. Als mir mein Sohn die Aufgaben zeigte , waren wir übereinstimmend der Meinung: Mathe-Abitur ist einfacher und ich sagte; rechne doch mal die Wahrscheinlichkeit aus, durch reines Raten die Prüfung zu bestehen- Das habe ich bisher nicht geschafft.

Meine Ideen:
Die Wahrscheinlichkeiten eine Frage richtig zu beantworten, ist ja bei denen mit 5 Antwortmöglichkeiten 1/30 und bei denen mit 6 Möglichkeiten 1/62 (hoffentlich!)

und jetzt komme ich nicht weiter, da von den 13 richtigen ja solch mit 6 und solche mit 6 Möglichkeiten dabei sein können.

07.03.2025, 17:16

adiutor62

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RE: Multiple choice beim Jagdschein
Es können höchstens 5 bzw. 4 Antworten richtig sein.
Das Gegenereignis wäre, dass 6 bzw. 5 Antworten richtig sind.

Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frage nicht korrekt beantwortet wird, indem du berücksichtigst, dass zu viele Antworten als richtig angekreuzt werden (also alle).
Für Fragen mit 6 Antwortmöglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 Antworten gewählt werden (falsche Kombination):

Das Ergebnis sollte bestätigen, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit durch reines Raten praktisch bei Null liegt.

07.03.2025, 17:18

IfindU

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RE: Multiple choice beim Jagdschein
Ich würde mir zuerst überlegen wie wahrscheinlich es ist eine einzelne Frage richtig zu beantworten. Wenn es $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Antwortsmöglichkeiten gibt, und man alle richtige Ankreuzen muss, und keine andere, dann muss man genau eine Auswahl der $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ möglichen treffen. Da man wenigstens immer eine Ankreuzen muss, also $\begin{eqnarray*} 2^n -1 \end{eqnarray*}$ , da die leere Menge nie korrekt ist. Also etwa 3% richtig zu raten, bei 5 Antwortsmöglichkeiten und einer Frage. Recht leicht kann man jetzt bestimmen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist mindestens 13 richtig zu haben. Den Sonderfall mit mehr/weniger Antwortsmöglichkeiten würde ich separat untersuchen, aber es wird nicht viel an dem unwahrscheinlichen Ergebnis ändern via raten zu bestehen.

Edit: Etwas bessere Chancen, weil alles ankreuzen genauso wie nichts ankreuzen nie funktioniert.

07.03.2025, 21:36

HAL 9000

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@laila49

Was du hier meinst ist nicht "multiple choice", sondern "multiple response" - Erklärung der Begriffe siehe u.a. hier.

Zitat:

Original von laila49
Bei jeder Frage ist mindestens eine Antwort richtig und mindestens eine falsch.

Damit bleiben noch $\begin{eqnarray*} 2^n-2 \end{eqnarray*}$ Antwortmöglichkeiten.

08.03.2025, 07:34

laila49

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multiple respons
erst mal danke für die vielen Antworten.

Dass die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten, bei 1/(2 hoch n -2) liegt, ist klar.
Dass die Wahrscheinlichkeit, durch raten zu bestehen, bei 0,000 % (gerundet auf drei Dezimalen) liegt, ist mir intuitiv klar.

Doch wie ich die 13 aus 25 behandle, wenn die einzelnen Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind, weiss ich nicht.

Wie geht man da vor?

08.03.2025, 09:47

HAL 9000

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Das geht durch diskrete Faltung: Wir haben hier $\begin{eqnarray*} X=X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_1\sim B\left(m,\frac{1}{62}\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} X_2\sim B\left(25-m,\frac{1}{30}\right) \end{eqnarray*}$ .

Dann berechnet man $\begin{eqnarray*} P(X=k) = P\left(X_1+X_2=k\right) = \sum_{j=0}^k P\left(X_1=j\right) P\left(X_2=k-j\right) \end{eqnarray*}$ .

Zu beachten ist, dass - abhängig von $\begin{eqnarray*} m,k \end{eqnarray*}$ - einige der Summanden sowieso gleich Null sind, d.h. nicht von der üblichen Binomialwahrscheinlichkeitsformel erfasst werden, die kann man dann bei den Indizes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ gleich ausschließen:

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = P\left(X_1+X_2=k\right) = \frac{1}{62^m\cdot 30^{25-m}}\cdot \sum_{j=\max(0,m+k-25)}^{\min(k,m)} \binom{m}{j}\cdot \binom{25-m}{k-j}\cdot 61^{m-j}\cdot 29^{25-m-k+j} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq 25 \end{eqnarray*}$ ,

speziell auch für $\begin{eqnarray*} k=13 \end{eqnarray*}$ . Für beispielsweise $\begin{eqnarray*} m=10 \end{eqnarray*}$ ergibt das $\begin{eqnarray*} P(X=13) = \frac{557298479533633544390663}{66905714144465489547417600000000000000} \approx 8.33\cdot 10^{-15} \end{eqnarray*}$ .

08.03.2025, 20:43

IfindU

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@HAL Das wäre für genau 13 richtige Antworten, oder? Gibt es etwas eleganteres, mindestens 13 richtige Antworten zu betrachten, als naiv über P(X=k) für größere k zu summieren?

08.03.2025, 20:58

HAL 9000

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In so einem Fall kann man ja auch gleich die Gesamtfaltung bestimmen. Rechentechnisch sogar ganz ohne Binomialkoeffizienten geht das, wenn man $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -mal die Bernoulli-Verteilung $\begin{eqnarray*} B\left(1,\frac{1}{62}\right) \end{eqnarray*}$ faltet, und dann nochmal $\begin{eqnarray*} (25-m) \end{eqnarray*}$ -mal die Bernoulli-Verteilung $\begin{eqnarray*} B\left(1,\frac{1}{30}\right) \end{eqnarray*}$ dranfalten - das ganze geht so ähnlich wie hier skizziert, nur mit einer viel einfacheren weil nur zweiwertigen diskreten Verteilung. Augenzwinkern

Mit rationalen Bernoulli-Parametern kann man das dann z.B. in Python exakt rechnen:

code:

1:
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28:
29:
30:
31:
32:

import math

def count_convolution(list_prob,a,b):
    n = len(list_prob)
    new_list_prob = [list_prob[0]*a]
    for k in range(n-1):
        new_list_prob.append(a*list_prob[k+1]+b*list_prob[k])
    new_list_prob.append(b*list_prob[n-1])
    return new_list_prob

def prob_list(n,m,p1,q1,p2,q2):
    list_prob = [1]
    for j in range(m):
        list_prob = count_convolution(list_prob,q1-p1,p1)
    for j in range(n-m):
        list_prob = count_convolution(list_prob,q2-p2,p2)
    q = (q1**m) * (q2**(n-m))
    return list_prob,q

def prob(list_prob,q,k):
    p = list_prob[k]
    g = math.gcd(p,q)
    return p//g,q//g

if __name__ == '__main__':
    n = 25
    m = 10
    list_prob,q0 = prob_list(25,m,1,62,1,30)
    for k in range(n+1):
        p,q = prob(list_prob,q0,k)
        pr = p/q
        print(f"{k}: {pr} = {p}/{q}")

09.03.2025, 07:46

laila49

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Faltung
Danke iFindu, Danke HAL.

Das ist ja noch komplizierter als ich dachte, Ich glaube, ich bleibe bei meiner Schätzung 0,000 %.

Jedenfalls habe ich eine weitere Erkenntnis gewonnen: Jagdschein bestehen ist leichter, als Wahrscheinlichkeiten auszurechnen...

09.03.2025, 11:56

HAL 9000

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Man könnte natürlich grob abschätzend auch so rangehen:

Die Wahrscheinlichkeit für die richtige Beantwortung von mindestens 13 Fragen bei zufälligem Ankreuzen kann man nach oben abschätzen durch die entsprechende Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} B\left(25,\frac{1}{30}\right) \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn wir bei allen Fragen nur 5 Ankreuzoptionen hätten. Außerdem können wir $\begin{eqnarray*} P(X=k)\leq P(X=13) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=13,\ldots,25 \end{eqnarray*}$ begründen, was insgesamt zu einer Abschätzung

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 13) = \sum_{k=13}^{25} P(X=k) \leq 13\cdot P(X=13)\leq 13\cdot \binom{25}{13} \frac{29^{12}}{30^{25}} \approx 2.8\cdot 10^{-12} \end{eqnarray*}$

führt. Scheint für deine Belange mehr als ausreichend zu sein, auch wenn man damit um mehrere Zehnerpotenzen daneben liegt. Augenzwinkern

@IfindU

Der tatsächliche Wert ist $\begin{eqnarray*} P(X\geq 13) \approx 8.52\cdot 10^{-15} \end{eqnarray*}$ , d.h. nur unwesentlich größer als der oben angegebene Wert für $\begin{eqnarray*} P(X= 13) \end{eqnarray*}$ .

09.03.2025, 16:49

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
@IfindU

Der tatsächliche Wert ist $\begin{eqnarray*} P(X\geq 13) \approx 8.52\cdot 10^{-15} \end{eqnarray*}$ , d.h. nur unwesentlich größer als der oben angegebene Wert für $\begin{eqnarray*} P(X= 13) \end{eqnarray*}$ .

Danke dafür. Ich dachte die Wahrscheinlichkeit wird um einiges höher, aber die Wahrscheinlichkeit eine Frage richtig zu haben ist wohl einfach absurd klein, dass es kaum einen Einfluss hat.

09.03.2025, 17:09

laila49

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beruhigt
danke.

ich bin jedenfalls sehr beruhigt.

Die schriftlich Prüfung besteht ja aus 5 Fachgebieten mit jeweils 25 Fragen.

Dann sind wir mit der Wahrscheinlichkeit in der Größenordnung von $\begin{eqnarray*} 10^{-75} \end{eqnarray*}$

Somit muss ich nicht befürchten, dass jemand einen Jagdschein erhält, der keine Ahnung hat und mich dann mit einer Wildsau verwechselt.

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