Interpretation Logarithmus

08.03.2025, 09:35

LogaRhythmus

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Interpretation Logarithmus

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hatte in einer Schularbeit ein Problem mit der Ableitung von ln(3x - 4)^2. Ich habe es als (ln(3x - 4))^2 interpretiert und entsprechend mit der Kettenregel abgeleitet. Meine Lehrerin meinte aber, dass die richtige Interpretation ln((3x - 4)^2) sei, also 2 ln |3x - 4|.

Meine Frage: Gibt es eine eindeutige Regel, wie ln(x)^2 standardmäßig interpretiert wird? Sollte man das immer als ln(x^2) verstehen, oder wäre meine Interpretation auch vertretbar?

Danke für eure Antworten! 128522

Meine Ideen:
Wie bereits oben genannt!

08.03.2025, 10:04

Elvis

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Kein Mensch kommt auf die Idee, $\begin{eqnarray*} sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} sin(x^2) \end{eqnarray*}$ zu interpretieren. Ich hätte es genauso gemacht wie du, und meines Erachtens haben Funktionen immer höhere Priorität als Rechenoperationen einschließlich Potenzen.

08.03.2025, 11:20

HAL 9000

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Deswegen plädiere ich dafür, bei Funktionsoperatoren das Argument grundsätzlich in Klammern zu setzen:

Wenn man nämlich $\begin{eqnarray*} \ln t^2 \end{eqnarray*}$ als Kurzschreibweise von $\begin{eqnarray*} \ln\left(t^2\right) \end{eqnarray*}$ zulässt, geht der Ärger nämlich los - warum dann nicht für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ den Term $\begin{eqnarray*} (3x-4) \end{eqnarray*}$ einsetzen? So ist anscheinend der Gedankengang der Lehrerin.

08.03.2025, 11:27

IfindU

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$\begin{eqnarray*} {\ln x \hphantom{\,}}^2 \end{eqnarray*}$ vs. $\begin{eqnarray*} \ln {x^2} \end{eqnarray*}$ .

Man muss gucken wie weit die Potenz vom Argument entfernt ist. Das erste ist $\begin{eqnarray*} (\ln x)^2 \end{eqnarray*}$ , das zweite $\begin{eqnarray*} \ln(x^2) \end{eqnarray*}$ . Ähnlich mit $\begin{eqnarray*} {\ln x \vphantom{\big |}}^2 \end{eqnarray*}$ vs $\begin{eqnarray*} \ln {x^2} \end{eqnarray*}$ .

Etwas ernsthafter, gibt es keine echte Konvention welche ich hierzu kenne. Jeder schreibt wie er/sie es mag und "aus dem Kontext ist doch klar was ich meinte" gewinnt aktuell leider.

08.03.2025, 11:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} {\ln x \hphantom{\,}}^2 \end{eqnarray*}$ vs. $\begin{eqnarray*} \ln {x^2} \end{eqnarray*}$ .

Man muss gucken wie weit die Potenz vom Argument entfernt ist. Das erste ist $\begin{eqnarray*} (\ln x)^2 \end{eqnarray*}$ , das zweite $\begin{eqnarray*} \ln(x^2) \end{eqnarray*}$ .

Ja, bei der Interpretation einer Formel erst das Maßband anlegen zu müssen, wäre bestimmt eine glänzende Idee. Big Laugh

Big Laugh

08.03.2025, 11:41

adiutor62

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Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ habe ich noch nie gesehen, was aber nichts heißen soll.
Ich kenne nur $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (sinx)^2 \end{eqnarray*}$ .

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08.03.2025, 11:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von adiutor62
Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ habe ich noch nie gesehen

Genau das ist der Punkt: Es sollte auch für Terme, die man selbst so nie verwenden würde, eine eindeutige Festlegung geben.

Gemäß meiner Forderung oben ("Funktionsargument grundsätzlich in Klammern") bestehen da keine Unklarheiten: Da ist $\begin{eqnarray*} \sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} (\sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist eine Schreibweise wie $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ dann illegal, womit sich einige sicher auch wieder nicht anfreunden können.

08.03.2025, 11:54

Elvis

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$\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ kann man interpretieren als $\begin{eqnarray*} (sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ oder als $\begin{eqnarray*} sin(sin(x)) \end{eqnarray*}$ . Auch das ist seit Jahrhunderten eine Baustelle, auf der jeder macht, was er will. Wenn die Mathematikerinnen nicht so faul wären, würden sie ein paar mehr Klammern schreiben.
@LogaRhythmus
Bestelle deiner Lehrerin einen schönen Gruß von mir und sage ihr, dass sie zukünftig Klammern benutzen soll, damit klar ist, was sie will, oder alle zulässigen Interpretationen anerkennen muss. (Du darfst ihr gerne diese Diskussion zeigen, dann kann sie ihren Unmut bei uns loswerden anstatt bei dir.)

08.03.2025, 14:46

Luftikus

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Wenn man es genau nimmt, dann ist die "Klammer" hier ein Teil der Funktionsdefinitionssymbolik:

f(.)

f(.)^2 macht da nur als (f(.))^2 Sinn. Denn f(.)(.) ist hier nicht definiert..

08.03.2025, 15:13

adiutor62

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sin2(x) kann man interpretieren als (sin(x))^2 oder als sin(sin(x))
Warum das letzte? Logik? verwirrt

verwirrt

08.03.2025, 16:27

Steffen Bühler

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08.03.2025, 16:30

Elvis

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Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:M\to M \end{eqnarray*}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ definiert man die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fache Komposition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ rekursiv durch $\begin{eqnarray*} f^1:=f, f^{n+1}:=f\circ f^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f^1(x)=f(x),f^{n+1}(x)=f(f^n(x)) \end{eqnarray*}$ .

08.03.2025, 16:46

Leopold

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Zitat:

Original von adiutor62
sin2(x) kann man interpretieren als (sin(x))^2 oder als sin(sin(x))
Warum das letzte? Logik? verwirrt

verwirrt

Ich halte diese Auffassung von Elvis auch für abwegig. Sicher schreibt man gelegentlich $\begin{align*} f^n \end{align*}$ für die $\begin{align*} n \end{align*}$ -fache Verkettung $\begin{align*} \underbrace{f \circ f \circ \ldots \circ f}_{n \text{-mal}} \end{align*}$ , aber das doch nur in speziellen Kontexten und unter ausdrücklicher Erläuterung dieser Schreibweise. In der klassischen Analysis ist $\begin{align*} \sin^2 = \sin \cdot \sin \end{align*}$ im Sinne der von der reellen Multiplikation induzierten Multiplikation von Funktionen, und sonst nichts.

Was die ursprüngliche Anfrage angeht, würde ich der Interpretation der Lehrerin zuneigen, und zwar zu 51,7182818 Prozent. Wie HAL bereits erläutert hat, bedeutet $\begin{align*} \sin t^2 = \sin \left( t^2 \right) \end{align*}$ (worin $\begin{align*} t \end{align*}$ durch $\begin{align*} 3x-4 \end{align*}$ substituiert wird). Gerade deshalb schreibt man ja auch $\begin{align*} \sin^2(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} \left( \sin(x) \right)^2 \end{align*}$ . Und warum ist das so? Weiß ich auch nicht. Es ist halt so. Denn irgendwo hat auch Elvis recht, daß Funktionsbezeichner stärker binden als Rechenoperatoren. Hier aber nun mal nicht. Das Ganze ist letztlich ein Kuddelmuddel von Traditionen und stillschweigenden Vereinbarungen. Das kann aber ein Schüler nicht wissen. Und vielleicht hat die Lehrerin auch noch nie darüber nachgedacht. In dieser Situation wird ihr wohl nichts anderes übrig bleiben, als die alternative Deutung des Schülers anzuerkennen. Und für den Unterricht wäre es eine günstige Gelegenheit, dies einmal zu thematisieren und über die Rangfolge von Operatoren zu sprechen.

08.03.2025, 20:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Wie HAL bereits erläutert hat, bedeutet $\begin{align*} \sin t^2 = \sin \left( t^2 \right) \end{align*}$

So habe ich das nicht gesagt, sondern dass manche vielleicht meinen, dass es das bedeutet. Ich selbst lehne diese Notation ohne Klammern ab, aus Gründen die in diesem Thread ja inzwischen allzu deutlich geworden sind.

08.03.2025, 21:18

Finn_

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Zitat:

Original von HAL 9000
Deswegen plädiere ich dafür, bei Funktionsoperatoren das Argument grundsätzlich in Klammern zu setzen: [...].

Unter strenger Einhaltung dieser Regelung wäre $\begin{eqnarray*} f((x, y)) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(x, y) \end{eqnarray*}$ zu notieren. Demnach bestehen anscheinend Abstufungen von grundsätzlich.

08.03.2025, 21:22

HAL 9000

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Der Syntaxpapst muss es gleich wieder übertreiben. smile

smile

Außerdem: Wer sagt dir, dass ich die äußeren Klammern bei Tupeln als zwingend empfinde? Vielleicht sehe ich dort so wie bei Python: Kann, aber nicht muss. Big Laugh

Big Laugh

09.03.2025, 09:13

Leopold

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Zitat:

Original von Finn_

Zitat:

Original von HAL 9000
Deswegen plädiere ich dafür, bei Funktionsoperatoren das Argument grundsätzlich in Klammern zu setzen: [...].

Unter strenger Einhaltung dieser Regelung wäre $\begin{eqnarray*} f((x, y)) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(x, y) \end{eqnarray*}$ zu notieren. Demnach bestehen anscheinend Abstufungen von grundsätzlich.

Die Lösung ist doch bereits angedacht:

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} {\ln x \hphantom{\,}}^2 \end{eqnarray*}$ vs. $\begin{eqnarray*} \ln {x^2} \end{eqnarray*}$ .

Man muss gucken wie weit die Potenz vom Argument entfernt ist. Das erste ist $\begin{eqnarray*} (\ln x)^2 \end{eqnarray*}$ , das zweite $\begin{eqnarray*} \ln(x^2) \end{eqnarray*}$ .

Ja, bei der Interpretation einer Formel erst das Maßband anlegen zu müssen, wäre bestimmt eine glänzende Idee. Big Laugh

Big Laugh

Die Lösung:

$\begin{align*} f \left( (x,y) \right) \rightarrow f \left( \hspace{-0,06 cm} (x,y) \hspace{-0,06 cm} \right) \rightarrow f \left( \hspace{-0,08 cm} (x,y) \hspace{-0,08 cm} \right) \rightarrow f \left( \hspace{-0,1 cm} (x,y) \hspace{-0,1 cm} \right) \rightarrow f \left( \hspace{-0,12 cm} (x,y) \hspace{-0,12 cm} \right) \rightarrow f \left( x,y \right) \end{align*}$

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