Rationalmachen des Nenners

10.03.2025, 08:50	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Rationalmachen des Nenners Meine Frage: Übungsaufgabe aus Meyberg & Vachenauer: Es ist auszurechnen unter "Rationalmachen des Nenners (?)" folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Idee, die Wurzel aus dem Nenner rauszubekommen durch Quadrieren des Nenners bringt nicht viel weiter: $\begin{eqnarray} \frac{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1} \right) }{ 2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)} } \end{eqnarray}$ , auch der Versuch, Nenner- und Wurzelfunktion in Potenzen zu transformieren, also $\begin{eqnarray} \left(x^{\frac{1}{2} } + (x+1)^{\frac{1}{2} } \right) ^{-1} \end{eqnarray}$ bringt keine Erleichterung. Ich verstehe auch überhaupt nicht was mit "Rationalmachen des Nenners" gemeint ist. Okay, das Wurzelzeichen soll verschwinden - aber wie?
10.03.2025, 08:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
"Rationalmachen des Nenners" bedeutet hier (basierend auf der Dritten Binomischen Formel $\begin{eqnarray} (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \end{eqnarray}$ ) die Erweiterung deines Integrandenterms mit $\begin{eqnarray} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right) \end{eqnarray}$ : Denn dann ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} = \frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\cdot \left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)} = \frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}{x+1 - x} = \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \end{eqnarray}$ .
10.03.2025, 09:19	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, hatte diese Binomsche Variante aus dem Blick verloren. Aus diesem sehr einfachen Term die Stammfunktion bilden und 0 und 1 einsetzen ist und voneinander abziehen ist dann einfach, sogar für mich. Dann bis bald mal wieder ;-)
10.03.2025, 09:46	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Kontrolle der Stammfunktion: https://www.integralrechner.de/
11.03.2025, 12:24	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Tipp, danke.

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