Körper mit 8 Elementen

11.03.2025, 12:18

Malcang

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Körper mit 8 Elementen

Hallo zusammen!

Ich habe hier gerade diese Aufgabe vor mir:
[attach]58186[/attach]

Leider bin ich gar nicht gut in Algebra unglücklich

unglücklich

Zu a) Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} Y^3+Y+1 \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ hat. Demnach kann ich auch keinen Linearfaktor abspalten.
Außerdem gibt es vom Grad $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ nur die Polynome $\begin{eqnarray*} Y^2, Y^2+1, Y^2+Y, Y^2+Y+1 \end{eqnarray*}$ . Durch Polynomdivision finde ich heraus, dass keines dieser Polynome ein Teiler von $\begin{eqnarray*} Y^3+Y+1 \end{eqnarray*}$ ist. Demnach gibt es kein Polynom $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit Grad(G) $\begin{eqnarray*} \in\{1,2\} \end{eqnarray*}$ , welches Teiler von $\begin{eqnarray*} Y^3+Y+1 \end{eqnarray*}$ ist. Daher ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[Y]/(Y^3+Y+1)\mathbb Z_2[Y] \end{eqnarray*}$ ein Körper.

Genügt das so?

Ich tue mir sehr schwer, die Elemente dieses Körpers zu bestimmen. Wie muss ich da vorgehen?

11.03.2025, 12:37

IfindU

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RE: Körper mit 8 Elementen
Es kann ja nur in drei Linearfaktoren zerfallen, oder einen Linearfaktor mit einem quadratischen. Wenn es einen quadratischen Teiler gäbe, gäbe es einen linearen und damit eine Nullstelle. D.h. mit Ausschließen der Nullstelle, weißt du dass es keine Faktorisierung gibt.

Ein paar Elemente hast du schon genannt. Die anderen sind $\begin{eqnarray*} 0, 1, 1+ Y, Y \end{eqnarray*}$ und damit hast du deine 8.

11.03.2025, 12:45

Elvis

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Für die Rechnungen in b) und c) musst du nur $\begin{eqnarray*} Y^3=-Y-1=Y+1 \end{eqnarray*}$ berücksichtigen, damit ergibt sich alles wie von selbst. Noch einfacher kann Algebra nicht sein.

11.03.2025, 12:59

Malcang

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RE: Körper mit 8 Elementen
Danke ihr beiden, das ist schonmal sehr hilfreich.

Zitat:

Original von IfindU

Ein paar Elemente hast du schon genannt. Die anderen sind $\begin{eqnarray*} 0, 1, 1+ Y, Y \end{eqnarray*}$ und damit hast du deine 8.

Das sind dann einfach nur "alle" Polynome mit Graden 1 oder 2?

11.03.2025, 13:45

IfindU

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RE: Körper mit 8 Elementen
Jap. Alle von Grad 3 und höher sind äquivalent zu einem der "niedrigen" Polynome.

11.03.2025, 13:54

Elvis

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RE: Körper mit 8 Elementen

Zitat:

Original von Malcang
Das sind dann einfach nur "alle" Polynome mit Graden 1 oder 2?

Genauer: Die Restklassen aller Polynome vom Grad 0, 1 oder 2. Setzt man dann wieder $\begin{eqnarray*} \theta:=\overline Y =Y+(Y^3+Y+1)\mathbb Z_2[Y] \end{eqnarray*}$ , dann sind es alle Polynome vom Grad <3 in $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Wenn man es nicht so genau nimmt, schreibt man dann auch wieder $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ .

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11.03.2025, 14:30

Malcang

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Dad ist ja toll, ich danke euch für die schnelle Hilfe smile

smile

11.03.2025, 15:00

Elvis

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Wenn du die Aufgaben b) und c) genau betrachtest, erkennst du schon unsere Lösungen. Bei b) identifiziert man die Polynome höchstens vom Grad 2 $\begin{eqnarray*} a_2Y^2+a_1Y+a_0 \end{eqnarray*}$ mit den Koeffiziententripeln $\begin{eqnarray*} a_2a_1a_0 \end{eqnarray*}$ . Bei c) ist das g aus der Aufgabe genau mein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Das ist doch richtig nett von dem Aufgabensteller, dass er so viele kaum versteckte Lösungshinweise gibt.

11.03.2025, 16:38

Malcang

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RE: Körper mit 8 Elementen

Zitat:

Original von IfindU
Jap. Alle von Grad 3 und höher sind äquivalent zu einem der "niedrigen" Polynome.

Ist das im Allgemeinen der Fall, oder ist das hier ein Spezialfall?

11.03.2025, 17:07

IfindU

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RE: Körper mit 8 Elementen
Ist der allgemeine Fall. In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] / p(X) \end{eqnarray*}$ sind die Äquivalenzklassen genau die Polynome $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \deg(q) < \deg(p) \end{eqnarray*}$ (im Sinne davon dass jede Äquivalenzklasse genau ein solches Polynom $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ besitzt).

11.03.2025, 17:50

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RE: Körper mit 8 Elementen
Dieses eine Polynom $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , das IfindU genannt hat, ist übrigens einer der möglichen Reste, die bei Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$ mit Rest auftreten können.
In deinem Beispiel hat $\begin{eqnarray*} p(X)=x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ den Grad drei, die möglichen Reste haben also höchstens Grad zwei. Ein Polynom vom Grad zwei kann man mit drei Koeffizienten beschreiben, dein Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z _2 \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente, macht $\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ Elemente.
Hat dein (irreduzibles) Polynom $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$ den Grad 5, bekommst du analog einen Körper mit $\begin{eqnarray*} 2^5 \end{eqnarray*}$ Elementen.

Diese Konstruktion finde ich immer wieder erbaulich smile

smile

12.03.2025, 11:15

Elvis

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RE: Körper mit 8 Elementen

Zitat:

Original von Malcang
Ist das im Allgemeinen der Fall, oder ist das hier ein Spezialfall?

Ist $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} p(X)\in K[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , o.B.d.A. normiert, also $\begin{eqnarray*} p(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} L=K[X]/(p(X)) \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , also ein Körper, der als K-Vektorraum die Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat.
Wegen $\begin{eqnarray*} p(X)-0=1\cdot p(X)\in (p(X))=p(X)K[X] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p(X)\equiv 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_0\equiv 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} X^n\equiv -a_{n-1}X^{n-1}-...-a_0 \end{eqnarray*}$ .
Das heißt, dass $\begin{eqnarray*} \overline {p(X)} \end{eqnarray*}$ das Nullelement von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist, und dass alle Potenzen $\begin{eqnarray*} \overline {X}^k,k>n-1 \end{eqnarray*}$ Polynome in $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ vom Grad kleiner als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind.
Ist $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein endlicher Körper mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Elementen, dann ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ein endlicher Körper mit $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ Elementen. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sind immer genau die Restklassen der Polynome vom Grad kleiner als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

12.03.2025, 16:03

HAL 9000

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(Ein wenig) off-topic

@Elvis

Findest du es nicht schrecklich, dass $\begin{eqnarray*} GF\left(2^n\right) \end{eqnarray*}$ praktische Anwendung erfährt z.B. bei der Fehlerkorrektur quasi aller optischen Laufwerke (zumindest bei CD/DVD/Bluray ist es mir bekannt), darüber hinaus auch bei DVB, Mobilfunk und und und ... (siehe Reed-Solomon-Code). Big Laugh

Big Laugh

12.03.2025, 16:35

Elvis

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Ich erfreue mich an der sinnfreien (!) Raumfahrt der Menschheit und kenne fehlertolerante Nachrichten-Codes des Gemini- und Voyager(?)-Programms. Zu solchen Zwecken gestatte ich ausnahmsweise die Anwendung algebraischer Teile der Mathematik. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2025, 21:34

Malcang

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Zitat:

Original von Elvis
Für die Rechnungen in b) und c) musst du nur $\begin{eqnarray*} Y^3=-Y-1=Y+1 \end{eqnarray*}$ berücksichtigen

Ich sehe gerade nicht woher das kommt, Elvis. Wen ich für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ doch 1 einsetze, kommen doch verschiedene Werte raus verwirrt

verwirrt

Edit: Oh, ich betrachte das doch modulo $\begin{eqnarray*} Y^3+Y+1. \end{eqnarray*}$ Es ist $\begin{eqnarray*} Y^3 : (Y^3+Y+1) = 1 + \frac{Y+1}{Y^3+Y+1} \end{eqnarray*}$ und damit identifiziere ich $\begin{eqnarray*} Y^3 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} Y+1 \end{eqnarray*}$ . Und das ist wegen $\begin{eqnarray*} -1\equiv 1 \mod 2 \end{eqnarray*}$ das selbe wie $\begin{eqnarray*} Y-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -Y+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -Y-1. \end{eqnarray*}$

Richtig so?

14.03.2025, 07:28

HAL 9000

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Ja, auf Umwegen kommt man auch zum Ziel. Etwas direkter: Aus $\begin{eqnarray*} Y^3+Y+1=0 \end{eqnarray*}$ folgt durch Umformung $\begin{eqnarray*} Y^3=-Y-1 \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ ist das gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} Y^3=Y+1 \end{eqnarray*}$ .

14.03.2025, 09:06

Elvis

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Noch direkter: Wegen 1=-1 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ ist a=-a in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ .
Achtung: Den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8=GF(8) \end{eqnarray*}$ darf man nicht mit dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8 \end{eqnarray*}$ verwechseln, dort ist $\begin{eqnarray*} 1+1=2\ne 0, -1=7 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem habe ich ausführlich diskutiert, welche Elemente der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8=GF(8) \end{eqnarray*}$ hat. Die Variable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist kein Element dieses Körpers, sondern die Restklasse $\begin{eqnarray*} \overline Y \end{eqnarray*}$ ist ein Element. Um das deutlich zu machen schreibt man z.B. $\begin{eqnarray*} \theta:=\overline Y \end{eqnarray*}$ .
Wenn man für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ etwas "einsetzt", dann bewegt man sich nicht im Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2[Y] \end{eqnarray*}$ und nicht im Restklassenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8=\mathbb Z_2[Y]/(Y^3+Y+1) \end{eqnarray*}$ , sondern man fasst Polynome als Polynomfunktionen auf. Das ist etwas ganz anderes, so etwas macht man in der Schule aber nicht in der Algebra.

Das Polynom $\begin{eqnarray*} p(Y)=Y^3+Y+1 \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom in einer Unbestimmten mit Koeffizienten 1,0,1,1 aus einem Ring. Die Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto f(x)=x^3+x+1 \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Funktion in einer Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten 1,0,1,1. Zwei völlig verschiedene Objekte, die nur eine ähnliche Form und deswegen historisch bedingt denselben Namen Polynom haben. Damit man sich das besser merken kann schreibt man Unbestimmte groß und Variable klein.

14.03.2025, 16:15

Malcang

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Hallo ihr zwei,

vielen Dank für die hilfreichen Einwände! smile

smile

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