Taylorpolynom 3. Grades berechnen

14.03.2025, 18:17	alphabetagama	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom 3. Grades berechnen Meine Frage: Hallo zusammen, ich soll die Näherungspolynome bis 3. Ordnung der Taylorreihe berechnen. Ich habe mich irgendwo verzettelt. f(x) = $\begin{eqnarray} \frac{x}{4-x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe die Funktion 2 mal abgeleitet und dann 0 gesetzt. f´(x) = $\begin{eqnarray} \frac{4}{(4-x)^2} \end{eqnarray}$ f´´(x) = $\begin{eqnarray} \frac{8}{(4-x)^3} \end{eqnarray}$ f(0) = 0 f`(0) = 1/2 f``(0) = 1/8 Taylorreihe: T = $\begin{eqnarray} 0+\frac{1}{1!} (x-0) + \frac{1/2}{2!} * (x-0)^2 + \frac{1/8}{3!} * (x-0)^3 \end{eqnarray*}$ Aber ich komme nicht auf die Musterlösung. Habe ich mich irgendwo verrechnet oder einen falschen Ansatz gewählt? Danke.
14.03.2025, 18:52	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Aufgabe) Taylorpolynom 3. Grades berechnen Klargestellt sei nur, dass der Entwicklungspunkt x=0 sein soll. Da hast Du Dich offenbar beim Einsetzen verrechnet, sonst käme das Richtige raus. Was den Ansatz betrifft: Ich hatte bei dieser Funktion sofort die Idee, dass es auch bequemer geht. Sie läßt sich nämlich umformen zu $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{4} } = \frac{x}{4}\cdot\sum\limits_{k=0}^{\infty } \left(\frac{x}{4} \right)^{k} \end{eqnarray}$ für geeignete $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Falls Dir das bekannt ist.
14.03.2025, 20:46	nichteuerernst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 3. Grades berechnen Die Ableitungen braucht du nicht. $\begin{eqnarray} \frac{x}{4-x}=\frac{-4+x+4}{4-x}=-1+\frac{4}{4-x}=-1+\frac{1}{1-0.25x} \end{eqnarray}$ . Der Term $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-0.25x} \end{eqnarray}$ beschreibt eine geometrische Reihe mit q= 0,25x. Das ist der Hintergrund dessen, was klauss dir geschrieben hat. Nach dem dritten Grad kannst du abbrechen.
15.03.2025, 19:53	alphabetagama	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom 3. Grades berechnen Danke euch für die Antworten.

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