Konvergenz in Verteilung

22.03.2025, 19:46	Kolmogorov04	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Verteilung Meine Frage: Hier eine Aufgabe aus einem Wahr/Falsch Schema: Für reellwertige Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_n, X \end{eqnarray}$ gelte $\begin{eqnarray} X_n\xrightarrow{d}X \end{eqnarray}$ , weiterhin sei eine reelle Folge $\begin{eqnarray} a_n\rightarrow a \end{eqnarray}$ gegeben. Gilt auch $\begin{eqnarray} X_n+a_n\xrightarrow{d}X+a \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Meine Vermutung ist Wahr, wie kann man das aber begründen? Erster Gedanke ging an das Continuous Mapping Theorem, allerdings müsste hierfür aber die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konstant sein oder?
25.03.2025, 10:07	Beuteltierchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussage ist falsch, z.b. $\begin{eqnarray} X_n=N(0,\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$
25.03.2025, 12:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern ist dein Beispiel ein Gegenbeispiel? Es ist $\begin{eqnarray} Y_n:=X_n+a_n = X_n+\frac{1}{n}\sim \mathcal{N}\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray}$ , und für $\begin{eqnarray} Y_n\to 0 \end{eqnarray}$ muss gelten $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} F_{Y_n}(t) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t<0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} F_{Y_n}(t) = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} F_{Y_n}(t) = \Phi\left(\frac{t-\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}\right) = \Phi\left(t\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray}$ ist das auch der Fall! Anmerkung: Der Punkt $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ selbst muss nicht betrachtet werden, da der eine Unstetigkeitsstelle der Grenzverteilungsfunktion ist!!!
25.03.2025, 14:24	Beuteltierchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hab ich mich wohl vertan... Im zweiten Versuch, folgt die ursprüngliche Aussage nicht direkt aus dem Satz von Slutzky oder liege ich schon wieder falsch?
25.03.2025, 15:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kannte diesen Satz von Slutsky bisher nicht - aber wenn man den verwenden kann, dann hast du natürlich Recht: Mit der Symbolik von https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Slutsky hat man hier ja sogar deterministische Folgen $\begin{eqnarray} B_n=1 \end{eqnarray}$ (konvergent gegen $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ ) sowie $\begin{eqnarray} A_n = a_n \end{eqnarray}$ (konvergent gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ). Klarerweise hat man bei konvergenten deterministische Folgen ja auch alle stochastischen Konvergenzarten im Sack, von der strengsten "fast sicher" bis zur laschesten "in Verteilung", insofern sind die Voraussetzungen des Satzes von Slutsky hier erfüllt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »