Extremalproblem

23.03.2025, 09:45

Extremal-Q

Extremalproblem

Aufgabe:
Die Strecke s soll von P(0|0,5) zur Kurve f(x)=2-0,5x² minimal sein . Berechne die minimale Strecke.

Meine Lösung:
Hauptbedingung: s=sqrt(a²+b²) (rechtwinkliges Dreieck ins KOS System ab P bis Kurve gezeichnet)

Nebenbedingung: a= x und b=f(x)-0,5=2-0,5x²-0,5 = 1,5-0,5x²

Zielfunktion : s(x)=sqrt(x²+(1,5-0,5x²) ) = sqrt(0,25x^4-0,5x²+2,25)

Problem: Wurzel kann ich hier nicht ziehen.

Um das Minimus zu bestimmen wurde dann im Lösungsheft, einfach das Quadrat von s(x) genommen. Also s²(x) ist alles was unter der Wurzel steht.

Dann davon das Minimum mit der Ableitung der Quadratfunkton berechnet.

Warum darf ich hier einfach die FUnktion quadrierern?

Wann wendet man also das quadrieren einer FUnktion zum Lösen eines Problems an? Gibt es da allgemeine Gundsätze?

23.03.2025, 10:37

adiutor62

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RE: Extremalproblem
Die abzuleitende/ zu minimierende Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + (1,5-x^2)^2 \end{eqnarray*}$

Wurzelziehen ist nicht nötig.

23.03.2025, 11:07

Leopold

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In deiner Zielfunktion steht einmal ein Quadrat falsch. Vermutlich ein Schreibfehler.

Die Quadratfunktion $\begin{align*} q(x) = x^2 \end{align*}$ ist für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ streng monoton wachsend. Wenn du sie daher einer Funktion $\begin{align*} s \end{align*}$ nachschaltest:

$\begin{align*} u(x) = q \left( s(x) \right) \end{align*}$

müssen $\begin{align*} s \end{align*}$ und $\begin{align*} u \end{align*}$ ihre Extremwerte an denselben Stellen besitzen. Nur die Werte der Extrema ändern sich (sie werden quadriert). Du suchst aber zunächst nur die Extremalstellen und kannst dafür statt $\begin{align*} s \end{align*}$ auch $\begin{align*} u \end{align*}$ nehmen.

Die Argumentation würde bei jeder beliebigen anderen für $\begin{align*} x \geq 0 \end{align*}$ streng monoton wachsenden Funktion $\begin{align*} q \end{align*}$ ebenso funktionieren, zum Beispiel

$\begin{align*} q(x) = 2025x+999 \, , \ \ q(x) = x^3 \, , \ \ q(x) = 2^x \, , \ \ q(x) = 2x + \sin(x) \end{align*}$

Nur würden diese Funktionen die Rechnung komplizierter machen, während $\begin{align*} q(x) = x^2 \end{align*}$ die Wurzel zum Verschwinden bringt, was zu einer Vereinfachung führt.

26.03.2025, 18:37

klauss

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RE: Extremalproblem
So sollte es sein:

Zitat:

Die abzuleitende/ zu minimierende Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + (1,5-\textcolor{red}{0,5}x^2)^2 \end{eqnarray*}$

Wurzelziehen ist nicht nötig.

Zitat:

Original von Extremal-Q

Warum darf ich hier einfach die FUnktion quadrierern?

Wann wendet man also das quadrieren einer FUnktion zum Lösen eines Problems an? Gibt es da allgemeine Gundsätze?

Ich würde es andererseits so erklären, dass man gar nicht groß förmlich quadriert hat, sondern stillschweigend die strenge Monotonie der Wurzelfunktion ausgenutzt hat. Diese wird minimal/maximal, wenn das, was unter der Wurzel steht, minimal/maximal wird.
Oder: Wegen
$\begin{eqnarray*} s(x)=\sqrt{f(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)} } \end{eqnarray*}$
genügt die Ableitung des Wurzelinneren.

27.03.2025, 07:03

Leopold

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Letztlich ist es egal, wie herum man es sieht. Ist $\begin{align*} g \end{align*}$ eine streng monoton wachsende Funktion und $\begin{align*} h \end{align*}$ eine Funktion, so daß die Verkettung $\begin{align*} \hat{h} = g \circ h \end{align*}$ möglich ist (beide auf geeigneten Intervallen definiert), dann haben $\begin{align*} h \end{align*}$ und $\begin{align*} \hat{h} \end{align*}$ dieselben Extremalstellen. Irgendwelche Voraussetzungen an Stetigkeit oder gar Differenzierbarkeit sind nicht erforderlich.

Es sei nun $\begin{align*} h \end{align*}$ die Funktion der Aufgabe, die die tatsächliche Streckenlänge angibt (bei Extremal-Q hieß die $\begin{align*} s \end{align*}$ ).

Meine Version war nun (mit $\begin{align*} g(x) = x^2 \end{align*}$ ):

$\begin{align*} \hat{h} = g \circ h \end{align*}$

Und das kann man auch gerade umgekehrt machen (Version von klauss):

$\begin{align*} h = g^{-1} \circ \hat{h} \end{align*}$

Mit $\begin{align*} g \end{align*}$ ist auch die Wurzelfunktion $\begin{align*} g^{-1} \end{align*}$ streng monoton wachsend (wir befinden uns in den nichtnegativen reellen Zahlen). Auf jeden Fall haben $\begin{align*} h \end{align*}$ und $\begin{align*} \hat{h} \end{align*}$ dieselben Extremalstellen.

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