Maximale Flächen mit Draht

23.03.2025, 15:06

Extrmal-Q

Maximale Flächen mit Draht

Aus 30m Draht sollen zwei möglichst große Flächen erstellt werden. Das eine ist ein gleichseitiges Dreieck, das andere ein Quadrat.
Für welche Maße ist die GEsamtfläche am Größten.

Mein Ansatz:
Hauptbed.: A=x²/4*sqrt(3) +y² ( Hier schreibt das Lösungsbuch nur A=x*h un dann A=x/2*sqrt(3) +y²

Aber dann wäre ja die erste Fläche ein Rechteck und kein Dreieck oder übersehe ich da was?

Meine Nebnbedingung ist: 3x+4y=30 => y=30/4-3/4x

Zielfunktion: A(x)=(x²/4)*sqrt(3) + (30/4-(3/4)x)²
umformen ...=(sqrt(3)/4+(9/16))x²-(180/16)x+(900/16)

==> A'(x)=0 x=5,65 und y=3,26

Im Lsg-Buch steht x=3,94 und y=4,55
(WAs ich auf den falschen Anfang zurückführe)
Es sei denn mein Ansatz stimmt nicht.

Evtl. kann mir ja jemand eine Rückmledung geben. Danke

23.03.2025, 17:19

HAL 9000

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OK, mal zur Einordnung:

Du betrachtest zwei komplett getrennte Flächen (also auch keine gemeinsamen Seiten bzw. überhaupt Teile von gemeinsamen Seiten - womöglich ist ja auch sowas zugelassen), dabei soll $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ jene des Quadrats sein.

Was du dann allerdings ermittelt hast ist nicht ein Maximum, sondern stattdessen das Minimum deiner Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Extrmal-Q
Im Lsg-Buch steht x=3,94 und y=4,55

Die Forensik der Denkweise der Aufgabensteller anhand dieser vermeintlichen Lösungswerte ergibt: $\begin{eqnarray*} 3x+4y=30 \end{eqnarray*}$ (soweit nachvollziehbar) sowie $\begin{eqnarray*} x = \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Was das nun allerdings mit dem Kriterium "Gesamtfläche am größten" zu tun haben soll, kann ich nicht nachvollziehen. unglücklich

24.03.2025, 12:48

willyengland

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Kann man so argumentieren?
Der Kreis hat bei gegebenem Umfang die größte Fläche.
Also muss das Viereck (mehr Ecken) günstiger sein als das Dreieck.
Darum x= 0, y = 7,5

24.03.2025, 16:22

HAL 9000

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Ja, und das kann man auch rechnerisch mit obigem Ansatz bestätigen:

Man hat ja außer $\begin{eqnarray*} 3x+4y=30 \end{eqnarray*}$ auch noch die Ungleichungs-Nebenbedingungen $\begin{eqnarray*} x\geq 0,y\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Mit der Elimination von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , wie sie Extrmal-Q oben durchgeführt hat, ergibt sich die nach oben geöffnete Parabel $\begin{eqnarray*} A(x)= \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \left( \frac{30-3x}{4}\right)^2 \end{eqnarray*}$ in den Grenzen $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 10 \end{eqnarray*}$ , die ihr Maximum offenkundig an einer der beiden Intervallgrenzen haben muss. Wie sich im Vergleich der Werte zeigt, ist das an der linken Grenze $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Bleibt nach wie vor die Frage, zu welchem Problem diese Lösung

Zitat:

Original von Extrmal-Q
Im Lsg-Buch steht x=3,94 und y=4,55

gehört - oder ob das schlicht ein fataler Blackout der Autoren ist.

25.03.2025, 20:48

andyrue

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.. weil es ja sein könnte dass das dreieck infinitesimal klein ist und am ende gar seitenlänge und fläche null hat.

...und dann geht der ganze draht
................an das gierige quadrat

26.03.2025, 13:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Extrmal-Q
Evtl. kann mir ja jemand eine Rückmeldung geben.

Dieser Wunsch geht auch in DEINE Richtung. Augenzwinkern

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