Modulo-Rechnung mit Polynomen (Gao-Dekodierung)

23.03.2025, 21:10	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulo-Rechnung mit Polynomen (Gao-Dekodierung) Hallo nochmal, es geht zwr speziell um Reed-Solom-Kode bzw. der Gao-Dekodierung, aber meine Frage ist algebraisch. Also vielmehr muss ich mich irgendwo verrechnet haben. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand einen Wink geben könnte. Die Dekodierung habe ich hier: [attach]58211[/attach] Und die Aufgabe ist diese: [attach]58212[/attach] Nun habe ich erstmal das Polynom $\begin{eqnarray} P_0 \end{eqnarray}$ gebildet: $\begin{eqnarray} P_0 = (X-2)(X-1)(X-3)(X-5) = X^4 + 3X^3 + 6X^2 + 2X+2 \end{eqnarray}$ . Dann bilde ich $\begin{eqnarray} P_2 = P_0 \mod{P_1} \end{eqnarray}$ . Mit Polynomdivision erhalte ich $\begin{eqnarray} P_0 : P_1 = 4X+2 + \frac{3X^2 + 3}{P_1} \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} P_2 = 3X^2+3 \end{eqnarray}$ . Ich setze $\begin{eqnarray} V_0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V_1 = 1 \end{eqnarray}$ . Nun zu meiner Frage: Ich bilde ja nun den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{P_0-P_2}{P_1} \end{eqnarray}$ . Ich habe $\begin{eqnarray} P_0 - P_2 = X^4 + 3X^3+3X^2+2X+6 \end{eqnarray}$ . Wenn ich nun aber dieses Polynom dividere durch $\begin{eqnarray} 2X^3+5X^2+3 \end{eqnarray}$ , bleibt ein Rest von $\begin{eqnarray} 4X \end{eqnarray}$ . Aber die Division sollte doch aufgehen, oder? Edit: Natürlich... Nach dem Absenden sehe ich, dass $\begin{eqnarray} P_0 \mod{P_1} = 3X^2+4X+3 \end{eqnarray}$ sein sollte. Damit komme ich auch bis kurz vor Schluss. Denn dann geht die Rechnung $\begin{eqnarray} P = \frac{3X^2+4X+3}{3X+5} \end{eqnarray}$ nicht auf
23.03.2025, 22:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das letzte geht mod 7 prima auf. $\begin{eqnarray} (3X^2+4X+3) : (3X+5)\equiv X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3X^2+5X \end{eqnarray}$ -------------------- $\begin{eqnarray} (6X+3) : (3X+5)\equiv 2 \end{eqnarray}$ Beachte $\begin{eqnarray} 4X-5X=-X\equiv 6X, 5\cdot 2=10\equiv 3\mod 7 \end{eqnarray}$ , also ist die Division kongruent $\begin{eqnarray} X+2\mod 7 \end{eqnarray}$ .
23.03.2025, 22:19	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Elvis, das hat mir sehr geholfen! Vielen Dank für deine späte Zeit Meine (jetzige) Rechnung: Ich habe einen Rest von $\begin{eqnarray} -X+3 \end{eqnarray}$ raus, und es ist $\begin{eqnarray} -X+3 = 6X+3 = 6X+10. \end{eqnarray}$ Damit ergibt mir das genau $\begin{eqnarray} 2. \end{eqnarray}$
24.03.2025, 09:05	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde den Thread gerne noch für eine weiterfürende Frage nutzen. Wenn ich einen Ausdruck berechnen möchte wie $\begin{eqnarray} (2X^5+7X^4) \mod {(X^4+3X^3+5X^2+8X+1)} \end{eqnarray}$ , muss ich dann wirklich immer die Polynomdivision durchführen und mir den Rest anschauen? Oder kann ich mir da schneller weiterhelfen?
24.03.2025, 09:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall ist $\begin{eqnarray} 2X^5 + 7X^4 = 2X^5 + 6X^4 + X^4 = 2X(X^4 + 3X^3) + X^4 \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man $\begin{eqnarray} X^4 + 3X^3 + 5X^2 + 8X + 1 =0 \end{eqnarray}$ umstellen zu $\begin{eqnarray} X^4 + 3X^3 = - 5X^2 - 8X - 1 \end{eqnarray}$ für den ersten Term und $\begin{eqnarray} X^4 =- 3X^3 - 5X^2 - 8X - 1 \end{eqnarray}$ für den zweiten und einsetzen. Und danach vereinfachen. Das ist aber einfach eine Polynomdivison manuell ausgeführt.
24.03.2025, 10:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil der Rest $\begin{eqnarray} -13X^3-21X^2-10X-1 \end{eqnarray}$ nach 2 Subtraktionen dasteht würde ich mir keine Gedanken über eine Vereinfachung machen. Standardverfahren haben für mich immer den zusätzlichen Vorteil, dass man manuell weniger Fehler macht. Mehr als 12 Polynomdivisionen überlasse ich dann lieber meinem Computer, weil es sonst langweilig wird.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »