Operatoren Logik & Philosophie

26.03.2025, 16:33	Justice	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatoren Logik & Philosophie Hallo liebe Matheboarder! Ich habe zu folgenden beim Googlen, nichts zufriedenstellendes gefunden (vielleicht habe ich auch falsch gesucht... ) Ich habe folgendes festgestellt: Bei den Mathematik-Operatoren: + - * / ^ $\begin{eqnarray} \sqrt{ } \end{eqnarray}$ Könnte man die Hälfte weglassen. Heisst, die andere Hälfte hat nur eine pragmatische/kosmetische Daseinsberechtigung, keine Logik-Relevante. Meine Frage nun, werden die Operatoren anhand von dieser Gegebenheit nochmals unterschieden? z.B. Primäre Operatoren und Sekundäre? Oder Alpha und Beta Operatoren? In der Mathematik ist ja alles genau definiert. Oder? Für die die noch nicht wissen was gemeint ist mit "Könnte man die hälfte weglassen" x + y: ist das gleiche wie: x -(-y) x * y: ist das gleiche wie: x / ( 1 / y ) $\begin{eqnarray} \sqrt[x]{y} \end{eqnarray}$ : ist das gleiche wie: $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Die () Klammern-Gruppierung für einfache Ausdrücke wie hier, könnte man auch weglassen wenn man die Notation anpassen würde (wie beim Potenzieren mit dem Exponent hochstellen) Und Philosophisch gesehen gibts dann kein "Plus", sondern Addition wäre dann "X minus minus Y". Und es gäbe kein "Mal", sondern Multiplikation wäre dann "X geteilt durch geteilt durch Y" Und, "Minus - " kann Subtraktion und Addition ermöglichen, hingegen nur mit "Plus + " gibts umgekehrt auch keine Lösung für Subtraktion. In gängigen Notationen wird ja auch das "Multiplikationszeichen" wegelassen, mit dem ungeschriebenen Gesetzt, dass zwei variablen/terme nebeneinander eine Multiplikation bilden. Dann könnte man die sechs Basis-Operatoren auf nur 2 runterbrechen: "hoch" und "minus". Weil dann wäre: $\begin{eqnarray} x y = x y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{y} = x y^{-1} \end{eqnarray*}$ Aber mit nur 2 Symbolen arbeiten geht auch nur mit der Notations-Regelung: "Multiplikation ist alles ohne ein Symbol...", sowie auch "Positive Terme sind alle ohne Vorzeichen" Und ja ich seh schon die einen Schreiben "Und was bringt dir das jetzt". Es geht hier nicht um eine Sinnhinterfragung, sondern darum das man Mathematik mit weniger Operatoren betreiben kann. Und dass man diese Tatsache bewusst ist. Und das man somit bei diesen 6 Operatoren in zwei gleich grosse Gruppen unterteilen kann: "Elementar & Kosmetik". Und hier dann die Fragen, gibts offizielle Begriffe für diese Unterteilung?
26.03.2025, 17:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatoren sind hochgradig von dem Bereich abhängig, auf dem sie operieren. In natürlichen Zahen gibt es keine -2, also kann man die Addition 2+2 nicht durch die Subtraktion 2-(-2) ausdrücken. xy ist in allen Strukturen, in denen man nicht durch 0 dividieren kann, nicht gleich x/(1/y), weil 1/0 nicht existiert. In der Algebra untersucht man alle Strukturen, also Mengen mit Operatoren. Dabei beginnt man mit den einfachsten Strukturen, das sind Mengen mit einem unitären oder binären Operator, also Negation $\begin{eqnarray} -:M\to M, x\mapsto -x \end{eqnarray}$ , Inversion $\begin{eqnarray} i:M\to M,x\mapsto x^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \circ:M\times M\to M, (x,y)\mapsto x\circ y \end{eqnarray}$ mit Addition $\begin{eqnarray} \circ=+ \end{eqnarray}$ bzw. Multiplikation $\begin{eqnarray} \circ=\cdot \end{eqnarray*}$ (Gruppen und Halbgruppen). In komplizierten Strukturen wie Ringe, Körper, Vektorräume, Algebren und vielen mehr kommen zwei oder mehr Operationen zusammen, wie z.B. Addition und Multiplikation, Skalarmultiplikation, Konkatenation, Komposition, etc.pp. Man kann gelegentlich eine kompliziertere Operation auf eine einfachere Operation zurückführen, doch wenn man auf einen Teil der möglichen Operationen verzichtet, geht sehr viel an Anschaulichkeit und Verständnis verloren. Für Computerprogramme oder in der Beweistheorie mag das manchmal sinnvoll sein, für Menschen ist es eher hinderlich.
26.03.2025, 17:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleiben wir doch bei einer Gruppe $\begin{eqnarray} (G,+) \end{eqnarray}$ Darin gibt es ein neutrales Element 0 und zu jedem $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ genau ein dazu inverses $\begin{eqnarray} b\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a+b=0 \end{eqnarray}$ Jetzt kommt die Konvention, dieses Inverse als $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ zu schreiben und dann weiter die Konvention, $\begin{eqnarray} a+(-b) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ zu schreiben. Letztlich hat man aber nur eine Operation, namlich +, und bewährte Schreibweisen, aber keine zwei Operationen. Würde man das Inverse als $\begin{eqnarray} {}_ib \end{eqnarray}$ schreiben, hätte man schlichtweg $\begin{eqnarray} a+{}_ib \end{eqnarray}$ und niemand käme auf die Idee, einen zweiten Operator zu sehen. Edit: Alternative Schreibweise der Inversen angpasst.
27.03.2025, 08:14	Justice	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis und URL für eure Antworten. @Elvis Ja, du hast recht. Ich hatte ja auch geschrieben, das mit allen Operatoren es pragmatischer und eleganter ist. @URL Aber dein tiefgesetztes i, ist auch ein Operator, zum Invertieren. Bei meinen Überlegungen könnte man argumentieren, ist das Vorzeichen "-", das selbe, wie der Operator "-"...
27.03.2025, 08:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das tiefgesetzte i ist kein Operator, es ist eine Schreibweise. Man kommt auch vollkommen ohne eine solche Schreibweise aus, der Preis ist dann der Aufwand. Man könnte nämlich jedesmal schreiben "sei $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ das dazu inverse Element"

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