Primzahlzwillinge

07.04.2025, 22:08

yogibär

Primzahlzwillinge

Meine Frage:
Keine Zahl 3 ^ n + 2 , n > 10, kann Primzahlzwilling ein. Warum?
Wie beweist man so etwas? Ich bin noch Neuling; werde ich " mailtalisch " über jede eintrudelnde Antwort benachrichtigt, oder was muss ich da tun? Danke.

Meine Ideen:
Meine Infos? Die Frage finde ich eben so intressant, wie sie mir fremd ist. Sie hat mich auf dem forum Quora kalt erwischt; qualifizierte Antworten wurden nicht gegeben. Hilft da vielleicht die Primzahlfunktion weiter? In Wiki fand ich auch Lehrsätze, wann ein Zahlenpaar ein Primzahlzwilliing sein könnte. Die Frage stelle ich aber gerade, weil ic überhaupt keinen Ansatz erkenne, was man da machen könnte.

07.04.2025, 22:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Zahl allein kann eh kein Primzahlzwilling sein. Meinst du das stattdessen so:

Zitat:

Das Paar $\begin{eqnarray*} \left(3^n+2,3^n+4\right) \end{eqnarray*}$ kann für kein $\begin{eqnarray*} n>10 \end{eqnarray*}$ ein Primzahlzwilling sein.

----------------------------------------------------------------------------

Im Fall $\begin{eqnarray*} n=4m \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3^{4m}+4 = 81^m+4\equiv 0\bmod 5 \end{eqnarray*}$ , also die zweite Zahl des Zwillings durch 5 teilbar.

Im Fall $\begin{eqnarray*} n=4m+1 \end{eqnarray*}$ ist hingegen $\begin{eqnarray*} 3^{4m+1}+2 = 3\cdot 81^m+2\equiv 0\bmod 5 \end{eqnarray*}$ , also die erste Zahl des Zwillings durch 5 teilbar.

Die weiteren beiden Fälle $\begin{eqnarray*} n=4m+2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=4m+3 \end{eqnarray*}$ scheinen sich leider nicht so einfach erledigen lassen. Was man ja auch am Fall $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ sehen kann, wo $\begin{eqnarray*} \left(3^{10}+2,3^{10}+4\right) = \left(59051,59053\right) \end{eqnarray*}$ tatsächlich Primzahlzwilling ist.

07.04.2025, 22:38

Telefonmann1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Info:

$\begin{eqnarray*} 3^{11}+2=7*25307 \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung ist schlecht formuliert.

07.04.2025, 23:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Telefonmann1

Ist kein Unsinn, und kann zu $\begin{eqnarray*} 3^{12m+11}+2\equiv 0\bmod 7 \end{eqnarray*}$ verallgemeinert werden. Genauso bekommt man

$\begin{eqnarray*} 3^{12m+7}+4\equiv 0\bmod 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{12m+2}+4\equiv 0\bmod 13 \end{eqnarray*}$ .

Summa summarum verbleiben damit aber immer noch ungeklärt die Fälle $\begin{eqnarray*} n\equiv 3,6,10\bmod 12 \end{eqnarray*}$ . Ich fürchte, allein mit Modulo-Betrachtungen lassen sich diese drei Fälle nicht knacken.

08.04.2025, 07:07

Telefonmann1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahlentheorie,primzahlen

Zitat:

Original von yogibär
Meine Frage:
Keine Zahl 3 ^ n + 2 , n > 10, kann Primzahlzwilling ein. Warum?
Wie beweist man so etwas?

Zuerst muss die Aufgabe korrekt formuliert werden. Zum Beispiel so:

Keine Zahl 3 ^ n + 2 mit n > 10 kann Teil eines Primzahlzwillings sein. Warum?

Gemeint sind dann entweder die Zwillinge (3^n, 3^n + 2) oder (3^n + 2, 3^n + 4), jeweils mit n > 10. Der erste Fall ist sofort begründet, weil 3^n für jedes n > 1 keine Primzahl ist. Für den zweiten Fall wurden bereits erste Antworten gegegen.

Zitat:

Ich bin noch Neuling; werde ich " mailtalisch " über jede eintrudelnde Antwort benachrichtigt, oder was muss ich da tun? Danke.

Du kannst ein Lesezeichen auf das Thema setzen und dann immer wieder mal nachsehen.

08.04.2025, 07:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch eine kleine Hoffnung, dass man zumindest noch Teile der verbleibenden Fälle mit Faktorisierungen lösen kann:

Beispielsweise liefert $\begin{eqnarray*} x^4+4 = \left(x^2+2\right)^2-4x^2 = \left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right) \end{eqnarray*}$ angewandt auf $\begin{eqnarray*} x=3^m \end{eqnarray*}$ die Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} 3^{4m}+4 = \left(3^{2m}-2\cdot 3^m+2\right)\left(3^{2m}+2\cdot 3^m+2\right) \end{eqnarray*}$ .

Das konkret bringt jetzt keinen Mehrwert, da der Fall $\begin{eqnarray*} n=4m \end{eqnarray*}$ oben schon erledigt wurde, aber vielleicht gelingt für andere Teilfälle ja ähnliches.

P.S.: Per CAS kann ich bestätigen, dass die Behauptung zumindest für $\begin{eqnarray*} 10<n\leq 3000 \end{eqnarray*}$ gilt. Weiter oben wird die Wahrscheinlichkeit natürlich immer kleiner, da noch einen Primzahlzwilling zu finden - ein Beweis ist das aber nicht.

Stellt sich die Frage, ob derjenige, der die obige Behauptung aufgestellt hat, diese auch wirklich vollständig beweisen kann - oder sie auch nur auf Basis des empirischen Zahlenmaterials für derart "kleine" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufgestellt hat...

08.04.2025, 10:08

Telefonmann1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Stellt sich die Frage, ob derjenige, der die obige Behauptung aufgestellt hat, diese auch wirklich vollständig beweisen kann - oder sie auch nur auf Basis des empirischen Zahlenmaterials für derart "kleine" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufgestellt hat...

Ich wäre auch nicht übermäßig überrascht, wenn die Formel von einer künstlichen Intelligenz gefunden wurde.

08.04.2025, 16:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich mal spaßeshalber mit einem Chatbot über das Thema unterhalten. Nicht dass ich großartige Lösungsansätze erwartet hätte, aber wollte mal sehen, was er mir verkaufen wollte:

Auf meine initiale Frage, ob es Primzahlzwillinge der Form $\begin{eqnarray*} \left(3^n+2,3^n+4\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>10 \end{eqnarray*}$ gibt, kam verdächtig schnell ein "Nein", nun gut.

Dann meine nächste Frage "Wie sieht es denn für $\begin{eqnarray*} n\leq 10 \end{eqnarray*}$ aus?", da wurde zeilenweise $\begin{eqnarray*} n=0,1,\ldots,10 \end{eqnarray*}$ aufgelistet, bis auf die letzte Zeile korrekt.

In jener letzten Zeile stand aber " $\begin{eqnarray*} 3^{10}+2=59049 \end{eqnarray*}$ (keine Primzahl) und $\begin{eqnarray*} 3^{10}+4 = 59051 \end{eqnarray*}$ (keine Primzahl), d.h. kein Primzahlzwilling"

Als ich daraufhin sagte "Du hast dich verrechnet, es ist $\begin{eqnarray*} 3^{10}+2=59051 \end{eqnarray*}$ und das IST eine Primzahl", stimmte der Bot kleinlaut zu und reichte auch noch das richtige " $\begin{eqnarray*} 3^{10}+4 = 59053 \end{eqnarray*}$ (Primzahl), d.h. doch Primzahlzwilling" nach.

Dann schob ich nochmal nach "Bist du dir WIRKLICH sicher, dass es für $\begin{eqnarray*} n>10 \end{eqnarray*}$ keine weiteren Primzahlzwillinge gibt?", und dann war der Bot dann doch verunsichert und gab kleinlaut zu, dass er das nicht entscheiden könne.

Nun, immerhin lernfähig. Aber wie so häufig: Erstmal große Klappe, als wüsste man alles ganz genau - und dann genauso leicht zu verunsichern.

08.04.2025, 16:29

Telefonmann1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Hab mich mal spaßeshalber mit einem Chatbot über das Thema unterhalten. Nicht dass ich großartige Lösungsansätze erwartet hätte, aber wollte mal sehen, was er mir verkaufen wollte:
....

Klasse

08.04.2025, 18:11

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

Chat-GPT:

"Keine Zahl 3 ^ n + 2 , n > 10, kann Primzahlzwilling ein. Warum?"

Antwort:
Das liegt daran, dass eine Zahl der Form $3^n + 2$ für $n > 10$ immer gerade ist, da $3^n$ ungerade ist und das Hinzufügen von 2 zu einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ergibt.
Primzahlzwillinge sind Paare von Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden, also in der Form $(p, p+2)$ vorliegen. Wenn eine der Zahlen in einem solchen Paar gerade ist, kann sie nur die Zahl 2 sein, da die einzige gerade Primzahl 2 ist.

08.04.2025, 18:52

Telefonmann1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von willyengland
Antwort:
Das liegt daran, dass eine Zahl der Form $3^n + 2$ für $n > 10$ immer gerade ist, da $3^n$ ungerade ist und das Hinzufügen von 2 zu einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl ergibt.
Primzahlzwillinge sind Paare von Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden, also in der Form $(p, p+2)$ vorliegen. Wenn eine der Zahlen in einem solchen Paar gerade ist, kann sie nur die Zahl 2 sein, da die einzige gerade Primzahl 2 ist.

(Das ist ja dramatisch). 5+2 soll also gerade sein verwirrt

.

Es geht bei ChatGPT aber auch besser, wenn man sich per Login anmeldet:

Bei mir hat der Bot bei n=10 ebenfalls kein Paar gefunden, aber auf Rückfrage dann auch die vier Treffer mit n=1,2,3,10 gefunden und auch erkannt, dass sich die Frage nach derzeitigem Wissensstand nicht direkt beantworten lässt. Nach weiteren eher wenig hilfreichen Hinweisen auf modulo-Tests konnte der Bot immerhin automatisch ein Python-Script erstellen und dieses bis n=2000 ausführen. Die Berechnung bis n=5000 wurde abgebrochen. Es gab aber Vorschläge zur Optimierung, die ich nicht weiter angefragt habe.

Neue Frage »

Antworten »

Primzahlzwillinge

Verwandte Themen