Selbst erstellte Aufgabe

14.04.2025, 10:31	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbst erstellte Aufgabe Gegeben sei ein Halbkreis $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ; weiters ein beliebiger Punkt $\begin{eqnarray} P (x;y) \end{eqnarray}$ auf dem Halbkreis. Gesucht sind die Endpunkte zweier Strecken, die jeweils von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ausgehen und noch folgenden Bedingungen genügen: - Die beiden Strecken sind gleich lang. - Die beiden Strecken schließen miteinander in $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ einen rechten Winkel ein. - Eine der beiden Strecken endet wieder auf dem Halbkreis, die andere auf der Durchmesserlinie. [attach]58223[/attach] Ich habe die zweite Kreishälfte angedeutet, um eventuelle Überlegungen - Thaleskreis? - zu unterstützen. PS.: Im Web ist mir ein Mathe-Video untergekommen mit dieser Grafik [attach]58224[/attach] als Startseite. Ich habe mir das Video aber nicht angeschaut und kenne daher weder Aufgabenstellung noch Lösung. Der strichliert eingezeichnet rechte Winkel hat mich irgendwie zum Knobeln und Tüfteln gebracht.
14.04.2025, 14:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Lösung mit Analytischer Geometrie. Wenn wir den Kreis als Einheitskreis um den Ursprung normieren und $\begin{align} P = (u,v) \end{align}$ auf dem oberen Halbkreis (im I. Quadranten) liegt, so hat, wie eine Koordinatenrechnung zeigt, $\begin{align} P_2 \end{align}$ die Koordinaten $\begin{align} P_2 = \left( u+v-\sqrt{2uv}\ , \ 0 \right) \end{align}$ Der Rest ist Routine. Die Gerade $\begin{align} PP_2 \end{align}$ hat mit dem Kreis einen zweiten Punkt gemeinsam. Diesen spiegelt man am Mittelpunkt des Kreises und erhält $\begin{align} P_1 \end{align}$ (Satz des Thales). Alternativ errichtet man das Lot auf $\begin{align} PP_2 \end{align}$ in $\begin{align} P \end{align}$ . Dieses trifft den Kreis in $\begin{align} P_1 \end{align}$ .
14.04.2025, 18:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine mögliche konstruktive Lösung: [attach]58226[/attach] Der Kreis $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit den drei Punkten $\begin{eqnarray} P,P_1,P_2 \end{eqnarray}$ und dem Durchmesser $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ geht durch Drehung um $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit dem Winkel $\begin{eqnarray} 90^{\circ} \end{eqnarray}$ in den Kreis $\begin{eqnarray} k' \end{eqnarray}$ sowie die Punkte $\begin{eqnarray} P',P_1',P_2' \end{eqnarray}$ und den Durchmesser $\begin{eqnarray} d' \end{eqnarray}$ über. Dabei gilt $\begin{eqnarray} P_2' = P_1 \end{eqnarray}$ , was wegen $\begin{eqnarray} P_2\in d \end{eqnarray}$ und demzufolge $\begin{eqnarray} P_2'\in d' \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} P_1\in k\cap d' \end{eqnarray}$ bedeutet - und dieser Schnitt kann sehr leicht konstruiert werden.
15.04.2025, 09:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Einfache ist das Schöne in der Mathematik. Und HALs Drehung macht es einfach. Ich spiele seine Idee jetzt rechnerisch nach. Dazu lege ich den gegebenen Kreis als Einheitskreis in die Gaußsche Zahlenebene. Ich behalte HALs Bezeichnungen bei, gehe aber zu Kleinbuchstaben über, wie man das in der komplexen Ebene gewohnt ist. Da haben wir zunächst den Punkt $\begin{align} p \end{align}$ mit den kartesischen Koordinaten $\begin{align} u,v \end{align}$ auf dem Einheitskreis im I. Quadranten: $\begin{align} p = u + \operatorname{i}v \, , \ \ \|p\|^2 = p \overline{p} = u^2 + v^2 = 1 \, ; \ u,v \geq 0 \end{align}$ Nun führen wir, wie in HALs Zeichnung dargestellt, eine 90°-Drehung um $\begin{align} p \end{align}$ im Uhrzeigersinn durch: $\begin{align} z \mapsto w = - \operatorname{i} \, \left( z - p \right) + p \end{align}$ Wir setzen $\begin{align} z = m = 0 \end{align}$ und $\begin{align} w = m' \end{align}$ und erhalten $\begin{align} m' = \left( 1 + \operatorname{i} \right) p \end{align}$ Jetzt ziehen wir die vertikale Gerade durch $\begin{align} m' \end{align}$ heran. Mit reellem $\begin{align} t \end{align}$ ist das $\begin{align} \text{()} \ \ z = m' - \operatorname{i} t \end{align}$ Diese Gerade schneiden wir mit dem Einheitskreis. Nach der Zeichnung brauchen wir den weiter oben liegenden Schnittpunkt. Mit dem gewählten Ansatz ist das der kleinere positive Wert für $\begin{align} t \end{align}$ : $\begin{align} z \bar{z} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( m' - \operatorname{i} t \right) \left( \overline{m'} + \operatorname{i} t \right) = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ m' \overline{m'} + \left( m' - \overline{m'} \right) \operatorname{i} t + t^2 = 1 \end{align}$ Es sind $\begin{align} m' \overline{m'} = \left( 1 + \operatorname{i} \right) \left( 1 - \operatorname{i} \right) p \overline{p} = 2 \cdot 1 = 2 \, , \ \ m' - \overline{m'} = p - \overline{p} + \operatorname{i} \left( p + \overline{p} \right) = 2 \operatorname{i} \left( u+v \right) \end{align}$ Wir lösen die quadratische Gleichung: $\begin{align} t^2 - 2 \left( u+v \right) t + 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( t-u-v \right)^2 -(u+v)^2 + 1 = 0 \end{align}$ $\begin{align} \Leftrightarrow \ \ \left( t-u-v \right)^2 = 2uv + u^2 + v^2 - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( t-u-v \right)^2 = 2uv \end{align}$ Die kleinere der beiden Lösungen ist $\begin{align} t = u+v - \sqrt{2uv} \end{align}$ . Alles in $\begin{align} \text{()} \end{align}$ eingesetzt, erhalten wir $\begin{align} p_1 = \left( 1 + \operatorname{i} \right) \left( u + \operatorname{i}v \right) - \operatorname{i} \left( u+v - \sqrt{2uv} \right) \end{align}$ $\begin{align} p_1 = u-v + \operatorname{i} \sqrt{2uv} \end{align}$ Jetzt drehen wir um $\begin{align} p \end{align}$ zurück: $\begin{align} w \mapsto z = \operatorname{i} \, \left( w-p \right) + p \end{align}$ und erhalten mit $\begin{align} w = p_1 \end{align}$ und $\begin{align} z = p_2 \end{align}$ : $\begin{align} p_2 = \operatorname{i} \left( u-v + \operatorname{i} \sqrt{2uv} - \left( u + \operatorname{i}v \right) \right) + u + \operatorname{i}v \end{align}$ $\begin{align} p_2 = u+v - \sqrt{2uv} \end{align}$
15.04.2025, 11:32	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Schöne Beiträge Kurz zu meinem Rechenweg: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PP_1}=\begin{pmatrix} x_1 - x \\ y_1 -y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diesen Vektor verdrehe ich um +90°. $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PP_1^{+90^\circ}}=\begin{pmatrix} y - y_1 \\ x_1 - x \end{pmatrix}=\overrightarrow{PP_2}=\begin{pmatrix} x_2 - x \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} y-y_1=x_2-x \quad \text{und} \quad x_1-x=-y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=x-y \ \ \text{und} \ \ \ y_1=\sqrt{r^2-(x-y)^2}=\sqrt{2xy} \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} y-y_1=x_2-x \text{ folgt dann } x_2= x+y-y_1 \end{eqnarray}$ Die gesuchten Punkte sind: $\begin{eqnarray} P_1\left(x-y; \sqrt{2xy}\right) \text{ und } P_2\left(x+y-\sqrt{2xy};0\right) \end{eqnarray}$

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