Normalverteilung

20.04.2025, 15:39

weintraube

Normalverteilung

Guten Tag und frohe Ostern Wink

Ich habe zwei Fragen zur Normalverteilung:

1.) Wenn man $\begin{eqnarray*} P(a \leq X \leq b)=\int_a^b\varphi(x)~dx=\Phi(b)-\Phi(a) \end{eqnarray*}$ nutzt, dann folgt daraus ja unmittelbar P(X=a)=0, weil aufgrund der identischen Integralgrenzen keine Fläche entsteht.
Wenn man als Sachzusammenhang mal annimmt, dass X normalverteilt ist und für Körpergrößen steht, von mir aus mit $\begin{eqnarray*} \mu=180 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=4,8 \end{eqnarray*}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand z.B. genau 182 cm groß ist, wäre nach obiger Integralgleichung Null aber intuitiv scheint es eher nicht korrekt zu sein, dass man davon ausgeht, dass es unmöglich ist, dass jemand eine konkrete Größe erreicht. verwirrt

Mir ist die so genannte Stetigkeitskorrektur bekannt, aber ist das hier wirklich der Schlüssel bzw. die einzige Herangehensweise für Punktwahrscheinlichkeiten und falls ja, gilt das nur für P(X=k) mit ganzzahligem k oder auch wenn k reell ist ?

2.) Ich beziehe mich auf den angehängten Graphen einer Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ und es geht darum zu entscheiden, ob dieser Graph zu einer Normalverteilung mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \mu=8,2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=0,4 \end{eqnarray*}$ gehören kann. Der Erwartungswert scheint ja schon mal ganz gut zu $\begin{eqnarray*} \Phi(8,2)=0,5=\int_{- \infty}^{8,2}\varphi(x) ~dx \end{eqnarray*}$ zu passen.
Um die Standardabweichung mit ins Boot zu holen, könnte man irgendwelche Intervallwahrscheinlichkeiten mit einem CAS berechnen (bei der Aufgabe sind technische Hilfsmittel erlaubt) und dann vergleichen, ob das näherungsweise zu den am Graphen ablesbaren y-Werten bzw. deren Differenz passt.
Das scheint mit jedoch nicht sauber zu sein, denn ich könnte ja auch nur Glück haben, dass es bei einigen ausgewählten Intervallen ganz gut hinkommt, aber das bedeutet ja nicht, dass es auch für alle Intervalle klappt.
Welche Herangehensweise würdet ihr wählen ?

20.04.2025, 16:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von weintraube
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand z.B. genau 182 cm groß ist, wäre nach obiger Integralgleichung Null aber intuitiv scheint es eher nicht korrekt zu sein, dass man davon ausgeht, dass es unmöglich ist, dass jemand eine konkrete Größe erreicht.

Wenn man eine Körpergröße mit 182cm angibt, dann steckt ja in Wahrheit eine Rundungsoperation dahinter. D.h. "genau" bedeutet hier wohl eher "auf cm gerundet genau 182 cm", also in Wahrheit irgendwas zwischen 181.5cm und 182.5cm. Es geht daher eher um

$\begin{eqnarray*} P(181.5\leq X\leq 182.5) = \Phi\left( \frac{182.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{181.5-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

für die normalverteilte Körpergröße $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ , und dieser Wahrscheinlichkeitswert ist nicht Null sondern echt positiv.

Zitat:

Original von weintraube
Das scheint mit jedoch nicht sauber zu sein, denn ich könnte ja auch nur Glück haben, dass es bei einigen ausgewählten Intervallen ganz gut hinkommt, aber das bedeutet ja nicht, dass es auch für alle Intervalle klappt.

Wenn es WIRKLICH eine Normalverteilung ist, dann reichen zwei Punkte vom Graphen aus, um die Parameter $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma^2 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen - und (bis auf numerische Effekte wegen des Ablesens) spielt es keine Rolle, welche Werte vom Graph man heranzieht, um $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma \end{eqnarray*}$ zu berechnen:

Es ist $\begin{eqnarray*} \Phi_{\mu,\sigma}(x) = \Phi\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ bzw. für die Umkehrfunktion (auch Quantilfunktion genannt) $\begin{eqnarray*} \Phi_{\mu,\sigma}^{-1}(\alpha) = \mu + \sigma\cdot \Phi(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Da bietet sich natürlich $\begin{eqnarray*} \Phi(0)=0.5 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0.5)=0 \end{eqnarray*}$ an, was zu $\begin{eqnarray*} \Phi_{\mu,\sigma}^{-1}(0.5) = \mu + \sigma\cdot 0 = \mu \end{eqnarray*}$ führt. Und dann z.B. $\begin{eqnarray*} \Phi(1)\approx 0.841 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(0.841)\approx 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Phi_{\mu,\sigma}^{-1}(0.84) = \mu + \sigma\cdot 1 = \mu+\sigma \end{eqnarray*}$ .

Klar kann man auch andere Werte nehmen, etwa $\begin{eqnarray*} \Phi(2)\approx 0.977 \end{eqnarray*}$ , aber das wird zunehmend schwierig mit der Genauigkeit des Ablesens...

21.04.2025, 08:38

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematische Modelle beschreiben die Wirklichkeit, sind aber nicht die Wirklichkeit. Gehen wir von einer realen Person aus. Wenn wir sagen, sie sei 182 cm groß, ist das, wie HAL bereits festgestellt hat, nur eine ungefähre Angabe. Es geht ja bereits damit los, was genau man mißt. Allein wenn jemand einen Atemzug macht, wird er vielleicht bereits um 2 mm größer. Was bedeuten also die 182 cm? Sie geben einen ganzen Spielraum für die reale Größe des Menschen an.

Gehen wir nun ins mathematische Modell. Dann bedeutet 182 (Längen in cm) so viel wie

182,000000000000000000000000000000000000000...

Oder

182,000000000000000200000000005000001000000... ?

Natürlich kann man sich zwei ideale Menschen (ideal im Sinne des Modells) vorstellen, die genau diese Körpergrößen haben. Ein anderer hat vielleicht eine Größe von

181,8092847563245490134578968991823948734851...

Und hier sind jeweils nur mal die ersten 40 von unendlich vielen Dezimalen angeschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person genau diese Göße oder die vorigen mit all ihren unendlich vielen Dezimalen hat, ist 0. Es kommt praktisch nicht vor. Auf der anderen Seite hat ein idealer Mensch im Modell natürlich eine bestimmte Körpergröße, vielleicht ist es

182,0872037165564989530854728176545488823471...

Aber vorauszusagen, genau diese Zahl zu treffen, dafür ist die Wahrscheinlichkeit 0.

Mit dieser gewiß paradoxen Situation muß man sich beim Anwenden stetiger Verteilungen wohl abfinden: Das Ereignis $\begin{align*} \{ X=182 \} \end{align*}$ ist daher nicht unmöglich, besitzt aber dennoch die Wahrscheinlichkeit null: $\begin{align*} P(X=182)=0 \end{align*}$ .

22.04.2025, 10:38

Scotty1701D

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann hier am Graphen auch gut ablesen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi'(8{,}2)=\phi(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\approx 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi}\approx 2{,}5 \end{eqnarray*}$ ist, ergibt sich sofort $\begin{eqnarray*} \sigma\approx 0{,}4 \end{eqnarray*}$ .

22.04.2025, 11:15

weintraube

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Scotty1701D

Ah, das ist auch ein sehr guter Gedanke um an die Standardabweichung zu kommen, vielen Dank. Freude

@ HAL 9000 und Leopold

Dankeschön für die ausführlichen und vor allem anschaulichen Erklärungen zum Thema P(X=k)=0.
Wenn man sich den von euch erwähnten Rundungsaspekt vor Augen führt, dann ist es auf einmal komplett nachvollziehbar. smile

Eine kleine Nachfrage hätte ich noch:

Welche Bedeutung haben eigentlich die Funktionswerte der NV-Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ ?
Bei der Binomialverteilung z.B. gilt ja mit der entsprechenden Dichtefunktion f der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} P(X=k)=f(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Bei der Normalverteilung jedoch gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} P(X=k) \neq \varphi(k) \end{eqnarray*}$ , daher meine Frage, ob die Funktionswerte hier überhaupt irgendeine anschauliche Bedeutung haben. verwirrt

22.04.2025, 12:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Salopp kann man sagen: Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stetig verteilt mit Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Stetigkeitsstelle dieser Dichte, sowie $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Intervall um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Länge $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} P(X\in I)\approx f\left(x_0\right) \cdot \Delta x \end{eqnarray*}$ - je kleiner $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ , umso genauer.

D.h. der Dichtewert selbst kennzeichnet keine Wahrscheinlichkeit - erst im Produkt mit einer Intervalllänge kann man ihn als (näherungsweisen) Wahrscheinlichkeitswert auffassen. Insbesondere können Dichtewerte ggfs. auch größer als 1 sein.

Neue Frage »

Antworten »

Normalverteilung

Verwandte Themen