Identitaetssatz fuer holomorphe Funktionen

20.04.2025, 23:41	oktennis	Auf diesen Beitrag antworten »
Identitaetssatz fuer holomorphe Funktionen Hallo zusammen, Es geht um den Beweis b) --> c) in der angehaengten Datei (Quelle: "Meyberg, Vachenauer Hoehere Mathematik 2") Da f(a) = g(a) und $\begin{eqnarray} f(z_n) = g(z_n) \end{eqnarray}$ fuer alle n gilt, folgt f'(a) = g'(a) , wie man am Differenzen-Quotienten erkennen kann. Wir wollen zeigen, dass auch $\begin{eqnarray} f''(a) = g''(a) \end{eqnarray}$ gilt. Wenn man analog wie davor den Differenzen-Quotienten bildet, erhaelt man zunaechst: $\begin{eqnarray} f''(a) = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{f'(z_n)-f'(a)}{z_n-a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g''(a) = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{g'(z_n)-g'(a)}{z_n-a} \end{eqnarray}$ Damit die beiden Ausdruecke identisch sind, muss zum einen g'(a) = f'(a) gelten, was auch tatsaechlich der Fall ist, wie davor gezeigt wurde. Zum anderen muss aber auch $\begin{eqnarray} f'(z_n) = g'(z_n) \end{eqnarray}$ fuer alle n gelten. Ich kann nicht erkennen, warum das der Fall sein sollte. Vielen Dank fuer Eure Hilfe!
21.04.2025, 09:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das Argument des Autors lässt sich nicht leicht verallgemeinern, wie du gesehen hast. Und ich denke das wird benötgen, dass die Funktionen analytisch sind, und nicht nur glatt. Ich schlage vor zu benutzen $\begin{eqnarray} f(z) = f(a) + f'(a) (z-a) + \frac 1 2 f''(a) (z-a)^2 + h.o.t. \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h.o.t. \end{eqnarray}$ meine ich "higher order terms", also höhere Potenzen von $\begin{eqnarray} z-a \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} f''(a) = \frac { 2 } { (z-a)^2} \left [f(z) - f(a) - f'(a) (z-a)\right] + h.o.t. \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f''(a) = \lim_{z \to a} \frac { 2 } { (z-a)^2} \left [f(z) - f(a) - f'(a) (z-a)\right] \end{eqnarray}$ . Und damit kann man es leicht zeigen.
21.04.2025, 14:37	oktennis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deine Antwort leider nicht nachvollziehen... Ich setze mal $\begin{eqnarray} h = f - g \end{eqnarray}$ Wir haben gegeben h(z_n) = 0 fuer alle n, und wir haben bereits gezeigt dass h(a) = 0 und h'(a) = 0. Nun wollen wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} h''(a) = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{h'(z_{n})-h'(a)}{z_{n}-a} \end{eqnarray}$ gleich null ist.
21.04.2025, 14:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst so anfangen. Jetzt musst du (wenigstens sehe ich gerade nichts anderes) das $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ als analytische Funktion als Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aufschreiben.

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