Grafische Darstellung Teilbarkeit

22.04.2025, 15:46

philolaos

Grafische Darstellung Teilbarkeit

Meine Frage:
Hiermit zeige ich als Grafiker eine simple grafische Darstellung zur Zahlentheorie, die jedoch das Potenzial hat, wesentlich komplexer zu sein, als es den Anschein hat.

Bereits der französische Mathematiker, Autor und Programmierer Jean Paul Delahaye hat diese Struktur in seinem Buch ?Le fascinant nombre Pi?, 1997 beschrieben, jedoch leider nur rudimentär.

Zu sehen ist ein Diagramm, deren x- und y-Achse jeweils den n-Zahlenstrahl enthält. Die einzelnen Koordinaten in der Fläche des Diagramms zeigen die jeweiligen Quotienten an. Alle Quotienten, die ausgehend von der Koordinate 1/1 zum ersten Mal auftreten, sind schwarz markiert. Dem entsprechend sind alle Quotienten, die sich wiederholen, weiß eingezeichnet.
Beispielsweise ist die weiße Diagonale, welche das Diagramm in zwei gleiche Teile teilt, der Quotient 1 mit den immer gleichen Zahlenbrüchen, also 1/1, 2/2, 3/3 usw.
Das bedeutet, dass natürliche Zahlen, die außer dem Quotient 1 nur schwarz markierte Quotienten beinhalten, Primzahlen sind.

Nun zu meiner konkreten Frage:
Wie ist der korrekte mathematische Ausdruck für die schwarzen Quotienten gegenüber den weißen Quotienten?

Hintergrundinfo:
Die schwarzen Quotienten entsprechen dem Satz von Ernesto Cesàro.

Fun Fakt:
Das gesamte Diagramm ist bei genauerer Betrachtung aus hierarchisch gegliederten Symmetrien zusammengesetzt. Zudem enthält diese Darstellung mit "unbenannten Zahlenbrüchen" eine interessante Sichtweise vom Sieb des Eratosthenes.

Meine Ideen:
Die schwarzen Quotienten entsprechen dem Satz von Ernesto Cesàro.

Das gesamte Diagramm ist bei genauerer Betrachtung aus hierarchisch gegliederten Symmetrien zusammengesetzt. Zudem enthält diese Darstellung mit "unbenannten Zahlenbrüchen" eine interessante Sichtweise vom Sieb des Eratosthenes.

22.04.2025, 16:51

willyengland

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Was mir dazu sofort einfällt ist Cantors Diagonal-Methode.
Wenn man diagonal von links oben im Zickzack alle schwarzen Brüche abläuft, kann man die rationalen Zahlen abzählen, sie sind also abzählbar.

Ist das Ganze symmetrisch oder nicht?

22.04.2025, 16:54

HAL 9000

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Mathematiker sprechen hier weniger von Quotienten, sondern eher vom "größten gemeinsamen Teiler" (ggT):

Pixel $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ist bei dir schwarz gefärbt genau dann wenn $\begin{eqnarray*} ggT(x,y)=1 \end{eqnarray*}$ . In dem Fall spricht man auch davon, dass $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

Das trifft dann sogar auf Nullzeile (y=0) bzw. Nullspalte (x=0) zu, denn es ist $\begin{eqnarray*} \mbox{ggT}(t,0)=\mbox{ggT}(0,t)=t \end{eqnarray*}$ - sogar für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ .

Der Grenzwert, denn du ansprichst ist $\begin{eqnarray*} \lim_{M\to\infty} \frac{1}{M^2}\cdot \left| \left\{ (x,y)\in \{1,\ldots,M\}^2 \mid \mbox{ggT}(x,y)=1\right\} \right| = \frac{6}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt sogar weit mehr, nämlich $\begin{eqnarray*} \lim_{M\to\infty} \frac{1}{M^2}\cdot \left| \left\{ (x,y)\in \{1,\ldots,M\}^2 \mid \mbox{ggT}(x,y)=k\right\} \right| = \frac{6}{\pi^2k^2} \end{eqnarray*}$ für alle ganzen $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

[attach]58246[/attach]

23.04.2025, 12:51

philolaos3

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Fragen
Moin HAL 9000,
erst mal ganz vielen lieben Dank dafür, dass Du die mathematischen Sachverhalte sowohl für Laien als auch für Fachleute zeigen und erklären kannst, denn diese Kombination ist sehr wertvoll. Und ja ich bin mathematischer Laie, genau genommen Formel-Legastheniker – aber dennoch hoch motiviert und versuche dazuzulernen. Ich betrachte dieses Problem aber vorrangig aus der visuellen Perspektive und habe dazu weitere Fragen:

1. Gibt es keine namentliche Unterscheidung zwischen den weißen und schwarzen "Pixeln"? Sagt man zu den schwarzen Pixeln nicht auch "relativ prim"? Und gibt es also sonst keinen speziellen Begriff für die weißen Felder? Spielt der Begriff "kommensurabel" hier vielleicht eine Rolle?

2. In welchem Zusammenhang sehen sie die Kreiszahl Pi in der Formel von Ernesto Cesàro und für welchen Sachverhalt steht die Zahl 6?

3. Die rechte Seite der Gleichung von Ernesto Cesàro erinnert mich an Eulers Lösung des so genannten Basler Problems, nur dass eben Zähler und Nenner vertauscht sind. Gibt es da einen Zusammenhang bezüglich der Kreiszahl?

4. Was halten Sie von den zeilenweisen Symmetrien parallel zur x- und y-Achse? Es sind Spiegelsymmetrien, die sich bis im Unendlichen wiederholen. Symmetrien gibt es natürlich auch diagonal, aber diese einfache Spiegelung halte ich für trivial.

23.04.2025, 13:03

philolaos3

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Symmetrien
Moin Willy,
ja stimmt, das ist die Matrix von Georg Cantor. Dasselbe Diagramm wird auch in der Musiktheorie bei den so genannten Harmonikern verwendet, da nennt sich dieses Koordinatensystem dann "Lambdoma".
Eingezeichnet sind da dann die Gleichtonlinien, also Oktave, Quinte, Quarte... das sind die diagonalen Reihen mit den Brüchen, die immer denselben Wert haben. Dazu kommen dann noch die Ober- und Untertonreihen parallel zu x- und y-Achse.
Zu den Symmetrien:
Zeilenweise Symmetrien parallel zur x- und y-Achse. Es sind Spiegelsymmetrien, die sich bis im Unendlichen wiederholen. Symmetrien gibt es natürlich auch diagonal, aber diese einfache Spiegelung halte ich für trivial.

23.04.2025, 13:51

HAL 9000

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1. "teilerfremd" und "relativ prim" sind Synonyme, ja. Spezielle Namen für das Gegenteil außer den offensichtlichen "nicht teilerfremd" usw. sind mir nicht bekannt, aber ich bin auch kein Namensfetischist, der für jede nicht geltende Eigenschaft unbedingt einen neuen Namen haben muss. Augenzwinkern

2./3. Der schwierigere Teil ist zu beweisen, dass der relative Anteil der schwarzen Punkte für $\begin{eqnarray*} M\to\infty \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert. Gelingt das, so rührt die Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} \frac{6}{\pi^2} \end{eqnarray*}$ aus dem Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ her, in Verbindung mit der letzten Formel in meinem vorigen Beitrag!

4. Die Diagonalsymmetrie ist trivial, da die Teilerfremdheit eine symmetrische Eigenschaft ist (und noch allgemeiner die Operation ggT symmetrisch ist). Identisch sind außerdem alle Zeilen, wo die Primfaktorzerlegungen der Zeilennummer dieselben Primfaktoren enthalten, nur mit unterschiedlichen Potenzexponenten. Gleiches gilt natürlich auch für die Spalten.

Beispiel: Die Zeilen $\begin{eqnarray*} 2, 2^2=4, 2^3=8 \end{eqnarray*}$ usw. sind gleich. Aber auch die Zeilen $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3=6, 2^2\cdot 3=12, 2\cdot 3^2=18 \end{eqnarray*}$ usw. sind einander gleich.

Der relative Anteil schwarzer Pixel in Zeile $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi(n)}{n} = \prod_{p\mid n} \left(1-\frac{1}{p}\right) \end{eqnarray*}$ .

Für dich als Formelallergiker: Für jeden Primteiler $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der Zeilennummer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ berechnet man Term $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{p} = \frac{p-1}{p} \end{eqnarray*}$ , und alle diese Werte multipliziert man miteinander - Beispiel:

$\begin{eqnarray*} n=60 = 2^2\cdot 3\cdot 5 \end{eqnarray*}$ enthält die Primfaktoren 2,3,5, damit ist der Schwarzpixelanteil gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{15}\approx 26.7\% \end{eqnarray*}$ , alles natürlich bezogen auf $\begin{eqnarray*} M\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von philolaos3
4. Was halten Sie von den zeilenweisen Symmetrien parallel zur x- und y-Achse? Es sind Spiegelsymmetrien, die sich bis im Unendlichen wiederholen.

Da bin ich skeptisch. Bisschen genauer erklären, was du damit meinst!

Als Spiegelsymmetrie würde ich verstehen, dass es ein $\begin{eqnarray*} m\geq 4 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(x,y) = 1 ~\Longleftrightarrow~ \operatorname{ggT}(x,m-y) = 1 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 2\leq y\leq m-2 \end{eqnarray*}$ gilt. (Die Zeilen $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ habe ich gleich rausgelassen, denn die tauchen nie wieder auf.)

Das klappt m.E. nur für $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=6 \end{eqnarray*}$ , aber kein weiteres $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Daher scheinst du wohl was anderes zu meinen - oder du meinst nur eine "ungefähre" Symmetrie (mal unmathematisch gesprochen).

P.S.: Üblicherweise duzen wir uns hier im Forum.

26.04.2025, 11:38

philolaos3

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Fragen zu Symmetrien
Vielen lieben Dank wieder für Deine bereitwillige Auskunft auf meine Fragen, denn dieses Diagramm liegt mir sehr am Herzen – aus kulturhistorischer Sicht. Und vielleicht kann ich Dir auch was zurückgeben, indem ich Dir Inspirationen aus einem anderen Blickwinkel liefere – würde mich jedenfalls sehr freuen.
Ich gehe mal in der gewohnten Nummerierung Deine Antworten durch:

Zu 1.:
Für mich sind diese Begriffe auch nicht notwendig, finde es aber immer ganz praktisch, das Kind beim Namen zu nennen. Mich würde immer noch interessieren, ob der Begriff >kommensurabel< mit dem Begriff >nicht teilerfremd< etwas zu tun hat. In Wikipedia heißt es zum Beispiel beim Artikel Inkommensurabiliät:
In der Mathematik heißen zwei reelle Zahlen a und b kommensurabel (von lateinisch commensurabilis ‚gleich zu bemessen, gleichmäßig‘), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl c sind, also einen gemeinsamen Teiler besitzen.
Zahlenbrüche gehören doch zu den rationalen Zahlen, die wiederum auch zu den reellen Zahlen gehören, oder?

Zu 2 und 3.:
Das ist ja schon mal interessant, dass Du bestätigst, dass die Gleichung von Ernesto Cesàro mit der Eulerschen Formel in Verbindung steht. Aber wie erklärst Du Dir die Kreiszahl Pi innerhalb dieses Diagramms?

Zu 4.:
Dass die Diagonalsymmetrie trivial ist, da gehe ich mit, sehe ich auch so, plausible Begründung auch. Aber mit zeilenweisen Spiegel-Symmetrien parallel zur x- und y-Achse meine ich wirklich nur zeilenweise, also nicht in Bezug zu anderen Zeilen als Fläche, sondern mit sich selbst, gewissermaßen eindimensional. Im Anhang siehst Du zur besseren Veranschaulichung die Pixel in drei Farben markiert. Die dritte Farbe sind also jene Pixel, die ganzzahlige Brüche ergeben.
Wie man also sehen kann, sind die Symmetrieachsen der Spiegelsymmetrien pro Zeile immer jeweils die ganze Zahlenwerte und die 0,5-Werte. Spannend finde ich jetzt also zu schauen, was die horizontalen Symmetrien in der Vertikalen bedeuten. Und interessant ist natürlich auch diese Grenze bei Zahlenbruch 2 und dem reziproken Wert 1/2.

Ja das ist wohl so: m=4 und m=6 ist die perfekte Symmetrie auf die gesamte Fläche bezogen. Finde ich auch einen interessanten Sachverhalt bezüglich meines Interessengebietes. Wobei ich der Meinung bin, dass dieses perfekt symmetrische Raster bereits schon von den Zahlen 2 und 3 „erzeugt“ wird, wenn man deren Vielfache gedanklich über die Fläche sausen lässt…

Wie gesagt, zu diesen zeilenweisen Symmetrien hätte ich eine Idee, aber vielleicht fällt Dir als Mathematiker auch was dazu ein und vielleicht entwickeln sich daraus ja ein paar nette Synergien zwischen Fachwissen und Intuition.

Ach eine Frage hätte ich noch: Hast Du diese große Grafik vom Pixelraster selbst programmiert? Kennst Du dazu irgendwelche Online-Publikationen bezüglich Zahlentheorie? Wie gesagt, die einzige mir bekannte Quelle ist von Jean Paul Delahaye.

26.04.2025, 13:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von philolaos3
In Wikipedia heißt es zum Beispiel beim Artikel Inkommensurabiliät:
In der Mathematik heißen zwei reelle Zahlen a und b kommensurabel (von lateinisch commensurabilis ‚gleich zu bemessen, gleichmäßig‘), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten reellen Zahl c sind

Eben - gemäß dieser Begriffsbildung sind sämtliche rationalen Zahlen (und darunter speziell auch die ganzen Zahlen) zueinander kommensurabel. Inkommensurabilität besteht z.B. zwischen einer rationalen und einer irrationalen Zahl, also etwa zwischen 1 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Das hat also nichts mit deiner Frage der teilerfremden Zahlen (und damit der Pixelfarbgebung) hier zu tun - hier ist alles "kommensurabel". unglücklich

Zitat:

Original von philolaos3
Das ist ja schon mal interessant, dass Du bestätigst, dass die Gleichung von Ernesto Cesàro mit der Eulerschen Formel in Verbindung steht. Aber wie erklärst Du Dir die Kreiszahl Pi innerhalb dieses Diagramms?

Du meinst, wieso $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ ist? Dafür gibt es verschiedenste Beweise, auch im Web - ich werde hier keinen davon abschreiben (noch dazu, da du dich gebrüstet hast, Formel-Legastheniker zu sein), kannst du selbst nachlesen.

Bei 4) schwant mir in deiner gewundenen wortreichen Beschreibung - insbesondere diesem "mit sich selbst", dass du einfach in Zeile $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Periodizität der Länge $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ meinst, und innerhalb einer solchen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Pixel umfassenden Sequenz auch noch die Spiegelsymmetrie. In Formeln, bezogen auf Zeile $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , gilt sogar generell für den ggT:

Periodizität: $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(x,y) = \operatorname{ggT}(x+k\cdot y,y) \end{eqnarray*}$
Spiegelsymmetrie: $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(x,y) = \operatorname{ggT}(k\cdot y-x,y) \end{eqnarray*}$

Beides gilt für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} x,k \end{eqnarray*}$ . Speziell bei Teilerfremdheit (also ggT-Wert gleich 1 bei den schwarzen Pixeln) gilt das dann natürlich auch.

Zitat:

Original von philolaos3
Hast Du diese große Grafik vom Pixelraster selbst programmiert?.

Ja, kleines handgestricktes Progrämmchen. Und die Grafik ist doch nicht groß, eher klein. Beiliegend noch eine mittelgroße Grafik. Auch $\begin{eqnarray*} 100\,000\times 100\,000 \end{eqnarray*}$ dauert in der Berechnung nur paar Sekunden, allerdings ist der Ergebnisfile mit 57 MByte ein wenig groß für den Upload (hab da nur 10MBit), außerdem denke ich mal, dass das Forum bei solchen großen Userfiles aussteigt. Big Laugh

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Übrigens: Bei $\begin{eqnarray*} 100\,000\times 100\,000 \end{eqnarray*}$ enthält das Bild genau $\begin{eqnarray*} 10^{10} \end{eqnarray*}$ Pixel, was mit einem Bit pro Pixel genau 1,25 GByte unkomprimiertes Bild ergibt. Die erwähnte Tatsache, dass das verlustlos komprimierte PNG-Bild "nur" noch 57 MByte umfasst (also Kompressionsfaktor über 20) ist auch ein Indiz für die vielen wiederholten Zeilen sowie auch die Periodizitäten innerhalb der Zeilen - sowas erfassen die Kompressionsalgorithmen und nutzen es aus. Augenzwinkern

28.04.2025, 07:45

HAL 9000

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Vielleicht fragst du ja bei 3) auch, warum der Schwarzpixelanteil hier mit der Cesàro-Summe zusammenhängt? Den Grund dafür hatte ich oben schon angedeutet - hier mal etwas ausführlicher begründet: Es sei

$\begin{eqnarray*} A_{k,M} = \left\{ (x,y)\in \{1,\ldots,M\} \mid \operatorname{ggT}(x,y) = k\right\} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. diese Menge umfasst alle Pixel $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit Koordinaten von 1 bis $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , wo der größte gemeinsame Teiler der beiden Koordinaten gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist. Speziell für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ enthält $\begin{eqnarray*} A_{1,k} \end{eqnarray*}$ also die Menge der schwarzen Pixel in diesem genau $\begin{eqnarray*} M^2 \end{eqnarray*}$ Punkte umfassenden Gitterquadrat.

Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} N_{k,M} = \left|A_{k,M}\right| \end{eqnarray*}$ , also die Anzahl der Pixel in der Menge $\begin{eqnarray*} A_{k,M} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} N_{k,M} = M^2 \end{eqnarray*}$ , denn jedes Punktepaar $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ in diesem Gitterquadrat hat einen bestimmten ggT und wird damit von genau einer Anzahlmenge $\begin{eqnarray*} A_{k,M} \end{eqnarray*}$ erfasst, und damit von genau einer der Größen $\begin{eqnarray*} N_{k,M} \end{eqnarray*}$ mit gezählt. Kann man auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{N_{k,M}}{M^2} = 1 \end{eqnarray*}$ . (*)

Anmerkung: Genau genommen ist das eine endliche Summe, da alle Werte $\begin{eqnarray*} N_{k,M}=0 \end{eqnarray*}$ sind für $\begin{eqnarray*} k>M \end{eqnarray*}$ . Ich schreibe es dennoch mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , weil diese Summe (Reihe) später für variable $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ betrachtet werden soll.

Für endliches $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist nun $\begin{eqnarray*} \frac{N_{1,M}}{M^2} \end{eqnarray*}$ der Schwarzpixelanteil in diesem Gitterquadrat. Gehen wir nun davon aus, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{M\to\infty} \frac{N_{1,M}}{M^2} \end{eqnarray*}$ existiert (das bedarf auch eines Beweises, den ich jetzt nicht kenne und der vermutlich schwieriger ist als das, was hier jetzt noch kommt), diesen Grenzwert nenne ich mal $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt $\begin{eqnarray*} N_{k,kM} = N_{1,M} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ , denn für festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ kann man jedem Pixel $\begin{eqnarray*} (x,y)\in A_{1,M} \end{eqnarray*}$ eineindeutig ein Pixel $\begin{eqnarray*} (kx,ky)\in A_{k,kM} \end{eqnarray*}$ zuordnen - diese Bijektion ergibt dann die Anzahlgleichheit. Folglich gilt auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{M\to\infty} \frac{N_{k,kM}}{(kM)^2} = \frac{1}{k^2}\cdot \lim_{M\to\infty} \frac{N_{k,kM}}{M^2} \stackrel{!}{=} \frac{1}{k^2}\cdot \lim_{M\to\infty} \frac{N_{1,M}}{M^2} = \frac{g}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Weiterhin kann man (durch monotone Einschachtelung $\begin{eqnarray*} N_{k,kM'}\leq N_{k,M}\leq N_{k,k(M'+1)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M'=\left\lfloor \frac{M}{k} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ ) auch beweisen, dass dieser Teilfolgengrenzwert gleich dem eigentlichen Grenzwert ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} \lim_{M\to\infty} \frac{N_{k,kM}}{(kM)^2} = \lim_{M\to\infty} \frac{N_{k,M}}{M^2} = \frac{g}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt die obige Summeneigenschaft (*) ins Spiel: Aus der folgt nun im Grenzwert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \lim_{M\to\infty} \frac{N_{k,M}}{M^2} = 1 \end{eqnarray*}$ , also eingesetzt $\begin{eqnarray*} 1 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{g}{k^2} = g\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ , was umgestellt Schwarzpixelanteil $\begin{eqnarray*} g = \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}} \end{eqnarray*}$ ergibt.

30.04.2025, 11:40

philolaos3

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Symmetrien
Vielen Dank wieder für Deine bereitwilligen Auskünfte. Just am 28.04. um ca. 10:00 Uhr wollte ich Dir antworten, aber da hast Du leider eine viertel Stunde früher einen Beitrag nachgeschoben, der in eine ganz andere Richtung geht. Ja, der Schwarzpixelanteil konvergiert zu einem Wert, in dem die Kreiszahl eine Rolle spielt – und nur das ist der Beweggrund meines Postings. Die verschlungenen mathematischen Wege interessieren mich natürlich auch, aber leider kann ich Deine Formeln nicht deuten. Jetzt habe ich mich aber dazu entschlossen, meine Antwort von vor zwei Tagen in dem genauen Wortlaut hier reinzusetzen:

Ja zum Begriff Kommensurabiliät sagt der Wikipedia-Beitrag tatsächlich dasselbe aus, aber weil ich mit mathematischen Begriffen unsicher bin, ist eine Bestätigung vom Spezialisten ganz hilfreich. Mich interessiert dieser Begriff auch nur deshalb, weil er in antiken Texten in recht unterschiedlichen Zusammenhängen auftaucht, wo es aber stark wahrscheinlich auch um genau dieses Diagramm geht.

Aber zu meiner Frage bezüglich der Kreiszahl Pi haben wir uns missverstanden. Meine Frage war: „Wie erklärst >Du< Dir die Kreiszahl Pi innerhalb >dieses Diagramms<? Also nicht zur Eulerschen Formel, sondern zur Gleichung von Ernesto Cesáro in eben diesem Koordinatensystem. Und nein, ich brüste mich nicht dafür, dass ich Formel-Legastheniker bin, sondern ich bedauere das aufrichtig. Deshalb suche ich ja auch Hilfe bei Spezialisten in diesem Forum und weiß deshalb auch Deine Fähigkeiten zu schätzen, das kannst Du mir also schon glauben. Natürlich kenne ich Dich nicht, aber ich vertraue auf Deine drei Sterne hier im Forum.
Und ja, ich verstehe auch, dass es Dich als Mathematiker nervt, wenn jemand die so wunderbar korrekte und eindeutige Sprache der Mathematik nicht versteht und mathematische Notationen mit Prosa ersetzen will. Das mache ich aber nicht, um Dich zu ärgern, sondern weil ich es nicht besser kann. Aber Du hast mich ja verstanden, was ich meine. Also gut, jene Periodizität der Länge n meine ich. Und hat das Attribut „trivial“ nicht auch jenen positiven Aspekt, dass es keines mathematischen Beweises bedarf, eben weil es so offensichtlich, gewissermaßen empirisch ist?
Und da stelle ich folgende Frage an Dich:
Was könnte genau diese Periodizität und deren Symmetrie mit Kreisumfang und Kreisdurchmesser zu tun haben?
Hast Du da eine Idee?
Könnte man vielleicht auch sagen, dass es sich bei diesem Diagramm um ein Interferenzmuster handelt? "Zwei Wellen" bzw. Zahlenstrahlen treffen aufeinander? So wie auch Lissaous-Figuren im selben Koordinatensystem geordnet in etwa dieselbe Struktur ergeben?

30.04.2025, 19:15

HAL 9000

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RE: Symmetrien
Das Philosophieren über mögliche (z.T. an den Haaren herbeigezogenen) Zusammenhänge zu den von dir genannten Sachen ist nicht so mein Ding - da musst du andere fragen. Vielleicht habe ich einfach zu wenig Phantasie. smile

Ja, die Lissajous-Figur $\begin{eqnarray*} t\mapsto (\sin(mt),\sin(nt+\varphi)) \end{eqnarray*}$ ist dieselbe wie die von $\begin{eqnarray*} t\mapsto (\sin(m't),\sin(n't+\varphi)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m'=\frac{m}{\operatorname{ggT}(m,n)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n'=\frac{m}{\operatorname{ggT}(m,n)} \end{eqnarray*}$ , wobei die damit dann teilerfremden $\begin{eqnarray*} m',n' \end{eqnarray*}$ die "kleinsten" positiven ganzen Zahlen mit genau dieser Lissajous-Figur sind. Ist gewissermaßen eine weitere graphische Veranschaulichung davon, dass $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ vollständig gekürzt die Form $\begin{eqnarray*} \frac{m'}{n'} \end{eqnarray*}$ annimmt.

Auf deine ursprüngliche Grafik bezogen: Zieht man vom Mittelpunkt des Pixels $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ Strahlen in das unendliche Pixelfeld hinein, welche genau durch den Mittelpunkt mindestens eines weiteren Pixels treffen, dann trifft es auch unendlich viele solche Pixel im Mittelpunkt, und zwar äquidistant auf diesem Strahl, und genau das erste dieser Pixel ist schwarz gefärbt, die anderen weiß. Also sind auf jedem dieser Strahlen ein schwarzes und unendlich viele weiße Pixel (die nicht mittig getroffenen Pixel zählen dabei nicht!) - dennoch ist der Schwarzanteil $\begin{eqnarray*} \frac{6}{\pi^2}\approx 60.7\% \end{eqnarray*}$ . Klingt womöglich paradox, ist aber so. Augenzwinkern

Zitat:

Original von philolaos3
Was könnte genau diese Periodizität und deren Symmetrie mit Kreisumfang und Kreisdurchmesser zu tun haben?

M.E. nichts. Augenzwinkern

Beispielsweise kann man dem ganzen auch eine dritte Dimension hinzufügen:

In diesem unendlichen Kubus sei nun Pixel (nein, es heißt dann Voxel) $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ genau dann schwarz gefärbt, wenn alle drei Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Dann ist der Anteil schwarzer Voxel genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\zeta(3)} \end{eqnarray*}$ mit Riemannscher Zetafunktion $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ . So weit ich weiß, ist keine Darstellung von $\begin{eqnarray*} \zeta(3) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekannt (zumindest keine "reihenfreie") ...

01.05.2025, 09:14

IfindU

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RE: Symmetrien
Ich verweise hier mal auf ein 3B1B video: Youtube.

Es kann ganz spannend sein Alternativbeweise zu finden, welche den Konstanten eine "sinnige" Interpretation geben. Ich bin kein Experte auf dem Gebiet, aber ich würde tippen es könnte Promotionarbeit sein hier eine zu finden. Ob man damit aber der Geheimnisse der Mathematik auf den Grund geht, oder man verzweifelt irgendwelche Zusammenhänge an den Haaren herbeizieht, möchte ich nicht urteilen Augenzwinkern

06.05.2025, 13:45

philolaos3

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Symmetrien wie publizieren?
Grüß Dich Hal 900
Grüß Dich IfindU

Vielen Dank wieder für Eure Hilfsbereitschaft. Und schön IfindU, dass Du jetzt die geometrische Lösung des Basler Problems ansprichst. Ja diese kenne ich seit längerer Zeit und auf dem besagten YT-Link wird das auch sehr gut erklärt, so dass auch ich es verstehe. Tatsächlich hätte ich für meine konkrete Frage bezüglich der Symmetrien im Teiler-Mosaik einen geometrisch sehr ähnlichen Lösungsvorschlag anzubieten.
Der Weg dahin ist aber ein komplett anderer und auch aus einem direkteren Ansatz heraus, also nicht nur modellhaft analog. Allerdings bedarf es einiger Vorüberlegungen, die zwar nicht kompliziert, aber durchaus komplex sind. Und nein, leider habe ich dazu keine eigenen eleganten Formeln am Start, sondern ich berufe mich auf bereits hinreichend bekannte Standards, die ich zusammenführe, ähnlich wie beim Basler Problem. Was ich dazu anbieten kann, ist lediglich eine geometrisch korrekte und allgemein verständliche Veranschaulichung.

Und da ist die Frage, welcher Mathematiker dazu die nötige Geduld und Ausdauer, aber auch die nötigen Instinkte hat, um zu erkennen, dass an der Sache was dran sein könnte, denn schließlich braucht es auch eine gewisse Bescheidenheit und Toleranz, um meinen laienhaften Erklärungsversuchen zu folgen.
Vor ca. 14 Jahren hatte ich Kontakt zu einem Diplommathematiker mit eben solchen Qualitäten, der mir die Richtigkeit meines Konzepts bestätigt hat. Er hat dazu bezüglich dem SdE etwas programmiert. Leider konnten wir das nicht weiter vertiefen, denn er kam drei Wochen später bei einem Motoradunfall ums Leben. Seitdem habe ich darüber mit niemandem mehr geredet. Zudem war und bin ich familiär und beruflich eingespannt.

Nun möchte ich diesen wirklich hübschen Sachverhalt der Fachwelt zur Diskussion übergeben, aber ich frage mich eben, ob sich einzelne Mathematiker auf meine laienhaften Erklärungsversuche überhaupt einlassen wollen, denn es macht viel Mühe, dass grafisch darzustellen und zu verschriftlichen – ohne die Sprache der Mathematik.
Aber in dem Fall, dass sich was Interessantes daraus entwickeln lässt, wäre es natürlich schön, wenn man mich nicht ignoriert, sondern teilhaben lässt, indem man mir die mathematischen Zusammenhänge allgemeinverständlich erklärt, denn dieses Thema hat auch eine kulturhistorische Dimension, die mich tatsächlich auch interessiert. Deshalb bin ich unschlüssig, wie ich mich verhalten soll.

Am Besten wäre es wohl, meine Arbeit möglichst vielen Mathematikern zumindest im deutschsprachigen Raum zu zeigen, so dass die Wahrscheinlichkeit hoch ist, dass die "Richtigen" dabei sind. Aber da ist dann eben wieder die Frage, welche Standards einzuhalten sind, dass sich das überhaupt jemand anschaut... Was also müsste ich bei der Erstellung eines solchen Papers beachten und gibt es dazu vielleicht eine geeignetere Plattform als diese hier?

06.05.2025, 14:31

HAL 9000

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Statt zu fordern, dass die anderen sich auf dich einlassen und deine Marotten ("ohne die Sprache der Mathematik") geduldig ertragen, könntest du ja auch einen Schritt auf die Mathematiker zugehen und diese Blockadehaltung zumindest lockern. Ich selbst fände es grauenhaft, wenn ich jedesmal meine Überlegungen in die Sprache von Opa übersetzen soll. Augenzwinkern

06.05.2025, 15:45

philolaos3

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Welche Blockadehaltung? Wenn Du als Deutscher mit Chinesisch-Kenntnissen ein Gespräch mit einem Chinesen führen möchtest, der umgekehrt kein Deutsch versteht, dann sind die Spielregeln doch klar.
Und keine Angst, ich belästige niemanden mit der Sprache von Opa. Mein "Chinesisch" sind klare geometrische Sachverhalte, die ein Mathematiker verstehen kann, und der dann seine Entscheidung treffen kann, ob das für ihn brauchbar ist oder nicht.

06.05.2025, 16:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von philolaos3
Wenn Du als Deutscher mit Chinesisch-Kenntnissen ein Gespräch mit einem Chinesen führen möchtest, der umgekehrt kein Deutsch versteht, dann sind die Spielregeln doch klar.

Was willst du mit diesem Bild vermitteln? Dass wir die Bittsteller sind, weil du so generös bist, dir helfen zu lassen? Erstaunt1

Und ja, ich sehe es als Blockadehaltung, sich über mathematische Themen unterhalten zu wollen und sich dabei schlicht der Sprache der Mathematik zu verweigern.

15.05.2025, 11:32

philolaos3

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Grüß Dich HAL 9000
Vielleicht meinst Du mit „Blockadehaltung zumindest lockern“, dass ich Dir ein Abstract liefere, worauf das Ganze hinausläuft. Aber ich möchte das nicht abkürzen, damit die für mich wichtigen Details nicht übergangen werden, die ich selbst auch verstehen möchte.
Und nein, ich fordere nicht nur, sondern bin überzeugt davon, dass ich auch inspirieren kann. Anhand meiner Fragen siehst Du dann ja sowieso, wo die Reise hingeht. Wäre es also ok für Dich, wenn wir uns Zug um Zug vorarbeiten?

Hätte wieder ein paar Fragen zu:

Periodizität: ggT(x,y)=ggT(x+k⋅y,y)
Spiegelsymmetrie: ggT(x,y)=ggT(k⋅y−x,y)

Prinzipiell kann man doch sagen, dass diese zeilen- und spaltenweisen Spiegelsymmetrien für jede Zahl auch zweidimensional, flächenhaft angelegt sind, siehe erste Abbildung im Anhang.

1.
Kann oder muss man die entsprechenden „Gitter“ mathematisch anders betrachten und beschreiben als die Zeilen?

2
Kann man also sagen, dass diese Gitter-Symmetrien alle Primfaktoren einer jeweiligen zusammengesetzten Zahl beinhalten?

3.
Lässt sich das rein mathematisch ohne Einschränkungen auch auf die jeweiligen reziproken Werte übertragen?, also zB.: 25/10 gegenüber 10/25 usw. ?
Wenn ja, kann man doch die Primfaktoren einer zusammengesetzten Zahl als flächenhaft symmetrisch betrachten – oder nicht?

4.
Währe es sinnvoll, dieses Koordinatensystem auf vier Quadranten erweitern, so dass der Nullpunkt in der Mitte liegt? Hat dieser Sachverhalt dann etwas mit komplexen Zahlen zu tun?

Zur zweiten Abbildung:
zu sehen ist ein einfaches Schema, wonach Gerade und Ungerade n von x und y in den Koordinaten mit dem Wert 2 so eine Art Dopplungseffekt bzw. Viererintervall ergeben.

5.
Könnte dieses 4er Schema ein Korrelat in der Zahlentheorie haben? Also nicht nur bezüglich dem Gitter der 2, sondern zur Teilerfremdheit allgemein? Dies jedoch immer im Zusammenhang mit dem Wert 2 und dem reziproken Wert 1/2.

Hoffentlich bist Du noch interessiert bzw. hilfsbereit, wenn nicht, muss ich das als neuen Thread hier oder woanders reinsetzen. Würde das aber gern mit Dir machen, weil Du schon im Thema drin bist und mit meinen „Marotten“ bisher ganz gut umgehen konntest.

Nur um Missverständnissen vorzubeugen: ich halte mich nicht für besonders clever, sondern habe einen entsprechenden geometrischen Zusammenhang nur durch Zufall entdeckt. Das Mathematische interessiert mich auch nur am Rande, aber ich muss es verstehen und irgendwie in eine Form bringen.

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Grafische Darstellung Teilbarkeit

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