Assoziativgesetz für Mengen Beweis (Verständnis Beweisführung)

23.04.2025, 15:12

holzkopp420

Assoziativgesetz für Mengen Beweis (Verständnis Beweisführung)

Meine Frage:
Hallo und Guten Tag,
ich bin neu hier im Forum und dachte vielleicht könnt Ihr mir einige Verständnisfragen klären.
Ich hatte Mathematik in meiner Fachhochschulreife und da sind leider viele Themen nicht behandelt worden.
Aktuell studiere ich WiInfo an der IU International und bin in Mathematik1.

Nun zu meiner Frage:
Ich soll die assoziativität von Mengen beweisen.
Nun habe ich mehrere Beweisvorgänge gesehen und bin bisschen verwirrt.
Das Skript der IU zeigt den Beweis schriftlich ausgeführt und ausgeschrieben.
Andere (hier im Forum z.B) zeigen den Beweis im Implikationspfeilen untereinander ausgeführt, was ich auch viel verständlicher finde.

Kann mir da einer bitte helfen ? smile

ganz liebe Grüße
Holzi

Meine Ideen:
Was ist jetzt richtig oder falsch in der Klausur ?

23.04.2025, 15:26

G230425

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RE: Assoziativgesetz für Mengen Beweis (Verständnis Beweisführung)
Mach dir ein Venn-Diagramm!

23.04.2025, 15:29

holzkopp420

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RE: Assoziativgesetz für Mengen Beweis (Verständnis Beweisführung)
Danke für die Antwort !

Mir gehts tatsächlich um das förmliche, anstatt das Verständnis, welche Beweisführung dann in der Klausur die richtige ist smile

Tut mir leid mein Beitrag ist bestimmt verwirrend.

mfg Holzi

23.04.2025, 15:36

holzkopp420

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wäre das so richtig in einer Klausur?

23.04.2025, 15:43

G230425

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RE: Assoziativgesetz für Mengen Beweis (Verständnis Beweisführung)
Stichwort hier: doppelte Inklusion zum Beweis verwenden

23.04.2025, 16:16

Finn_

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Um $\begin{eqnarray*} X=Y \end{eqnarray*}$ zu beweisen, zeigt man sowohl die Inklusion $\begin{eqnarray*} X\subseteq Y \end{eqnarray*}$ als auch ihre Umkehrung $\begin{eqnarray*} Y\subseteq X \end{eqnarray*}$ .

Ich will den streng formalen Beweis mal für $\begin{eqnarray*} A\cap (B\cap C)\subseteq (A\cap B)\cap C \end{eqnarray*}$ ausführen; der Beweis der Umkehrung verläuft analog.

1. (Abhängigkeiten: 1. selbst) Es gelte $\begin{eqnarray*} x\in A\cap (B\cap C) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fest, aber beliebig (Floskel). Als Annahme.
2. (Abhängigkeiten: 1.) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in A. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{x\in X\cap Y}{x\in X} \end{eqnarray*}$ auf 1.
3. (Abhängigkeiten: 1.) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in B\cap C. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{x\in X\cap Y}{x\in Y} \end{eqnarray*}$ auf 1.
4. (Abhängigkeiten: 1.) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in B. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{x\in X\cap Y}{x\in X} \end{eqnarray*}$ auf 3.
5. (Abhängigkeiten: 1.) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in C. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{x\in X\cap Y}{x\in Y} \end{eqnarray*}$ auf 3.
6. (Abhängigkeiten: 1.) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{x\in X\qquad x\in Y}{x\in X\cap Y} \end{eqnarray*}$ auf 2. und 4.
7. (Abhängigkeiten: 1.) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in (A\cap B)\cap C. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{x\in X\qquad x\in Y}{x\in X\cap Y} \end{eqnarray*}$ auf 6. und 5.
8. (Abhängigkeiten: keine) Es gilt $\begin{eqnarray*} x\in A\cap (B\cap C)\Rightarrow x\in (A\cap B)\cap C. \end{eqnarray*}$ Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{\Gamma,\varphi\vdash\psi}{\Gamma\vdash\varphi\Rightarrow\psi} \end{eqnarray*}$ auf 7. Tilgt 1. aus den Abhängigkeiten.
9. (Abhängigkeiten: keine) Es gilt $\begin{eqnarray*} \forall x\colon x\in A\cap (B\cap C)\Rightarrow x\in (A\cap B)\cap C \end{eqnarray*}$ . Via Regel $\begin{eqnarray*} \frac{\Gamma\vdash\varphi}{\Gamma\vdash\forall x\colon\varphi} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht frei in $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ ) auf 8. "Nicht frei" ist das "beliebig" in "fest, aber beliebig".
10. (Abhängigkeiten: keine) Es gilt $\begin{eqnarray*} A\cap (B\cap C)\subseteq (A\cap B)\cap C. \end{eqnarray*}$ Via Definition der Inklusion auf 9.

23.04.2025, 16:43

Finn_

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Zitat:

Original von holzkopp420
wäre das so richtig in einer Klausur?

Das ginge, ja. Bei dieser Vorgehensweise werden die Regeln booleschen Algebra von der Aussagenlogik auf die Mengenlehre übertragen. Dadurch, dass das Assoziativgesetz der booleschen Algebra vorausgesetzt wird, erspart man sich den eigentlich nötigen Beweis durch Fallunterscheidung, den man zu unternehmen hat, wenn eine Vereinigung bzw. Disjunktion als Prämisse auftritt.

Allerdings ließen sich die beiden Folgerungsketten zu einer Äquivalenzumformung zusammenfassen, da jeder Schritt eine Äquivalenz darstellt, also in beide Richtungen geführt werden kann. Spart Zeit in der Klausur.

23.04.2025, 17:55

holzkopp420

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Hab das schriftlich bewiesen. Ist das so richtig ?

Danke für die vielen Antworten!

mfg Holzi

23.04.2025, 19:07

Finn_

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Ja, das ist der Beweisverlauf, der sich ergibt. Kleinigkeiten: Der Zusatz "oder beiden" ist eigentlich nicht nötig, insofern mit dem "oder" nicht das ausschließende gemeint ist, andernfalls wäre dieser Zusatz umständlicherweise hinter jede oder-Aussage zu stellen. Das "Analog dazu" am Ende sollte entfallen; dies sind doch genau die gerade zuvor geführten Beweise.

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