Ist die gegebene Funktion bijektiv?

24.04.2025, 17:12	IchBinNichtCleo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die gegebene Funktion bijektiv? Meine Frage: Wir betrachten die Funktion f_3(x) aus dem Anhang. Polstelle bei x = 10 Horizontale Asymptote bei y = 5 Wenn ich angebe f: R \ {10} -> (5, +?) ist die Funktion dann bijektiv? Meine Ideen: Folgende Gedanken dazu: Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen ohne die 10. Die Zielmenge sind alle reelle Zahlen größer 5. Da ich diverse Elemente in der Definitionsmenge habe, die keinem Element der Zielmenge zugeordnet sind, dürfte es nicht bijektiv sein, da es genau eine Zuordnung geben muss, korrekt? Oder geht dadurch die Funktionsdefinition an sich schon flöten? Bildlich gesprochen, betrachte ich ja "die ganze x-Achse ohne 10" und "die ganze y-Achse größer 5". Wie verhält sich das jetzt wenn beispielsweise f(-10) einen y-Wert kleiner 5 ausspuckt. Ignoriere ich den? Habe ich die Funktion "kaputt" gemacht?
24.04.2025, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} f_3:\mathbb R\backslash \{10\}\to \mathbb R\backslash \{5\} \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Die Zuordnung $\begin{eqnarray} f_3:\mathbb R\backslash \{10\}\to \{y\in \mathbb R:y>5\} \end{eqnarray}$ ist keine Funktion. Die Funktion $\begin{eqnarray} f_3:\{x\in\mathbb R:x>10\}\to \{y\in \mathbb R:y>5\} \end{eqnarray}$ ist bijektiv.
24.04.2025, 19:48	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es verbleibt allerdings unklar, welche Funktion mit der Skizze im Anhang gemeint sei. Mag es sich nicht um $\begin{eqnarray} f_3(x) = \frac{50}{x-10}+5+\frac{\sin(1000x)}{1000} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f_3(x) = \frac{50}{x-10}+5-\frac{\mathrm{sgn}(x-10)}{1000} \end{eqnarray}$ handeln? Anscheinend bestehen nicht explizit genannte Anforderungen an die Funktion bzw. die Skizze, die diese Konstrukte ausschließen.
24.04.2025, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir an, dass die Funktion für x<10 und für x>10 jeweils streng monoton fallend ist, dann sollte man Aussagen über ihre Eigenschaften machen können. Der Aufgabensteller kann vielleicht noch mal darüber nachdenken, was er mit einer unklaren Aufgabe erreichen will. In jedem Fall gibt eine solche Aufgabe hinreichend viel Stoff zum nachdenken.

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