Wahrscheinlichkeit bei einander ausschließenden Ereignissen

03.05.2025, 12:33

Studentu

Wahrscheinlichkeit bei einander ausschließenden Ereignissen

Hallo! Über eine Rückmeldung, ob folgende Überlegung stimmt, würde ich mich freuen:

Angenommen, ich habe die Wahrscheinlichkeit gegeben, dass während einer Stunde
genau eine Fliege, aber keine anderen Insekten: $\begin{eqnarray*} P_{Fliege} \end{eqnarray*}$
genau eine Mücke, aber keine anderen Insekten: $\begin{eqnarray*} P_{Mücke} \end{eqnarray*}$
genau ein Käfer, aber keine anderen Insekten: $\begin{eqnarray*} P_{Käfer} \end{eqnarray*}$
in eine Insektenfalle geht.

Nun möchte ich wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P_{Insekt} \end{eqnarray*}$ ist, dass während der Stunde genau eines der Insekten in die Falle geht, aber nicht keines oder zwei oder mehr.

Ist diese Wahrscheinlichkeit dann gegeben durch
$\begin{eqnarray*} P_{Insekt} = P_{Fliege}(1-P_{Mücke})(1-P_{Käfer}) + P_{Mücke}(1-P_{Fliege})(1-P_{Käfer}) + P_{Käfer}(1-P_{Fliege})(1-P_{Mücke}) \end{eqnarray*}$

oder ist sie, da die drei Wahrscheinlichkeiten von vornherein schon für einander ausschließende Ereignisse stehen, einfach gegeben durch
$\begin{eqnarray*} P_{Insekt} = P_{Fliege} + P_{Mücke} + P_{Käfer} \end{eqnarray*}$ ?

Ich tendiere zu ersterer Formel, wäre für eine Rückversicherung (und evtl. noch stichhaltige Begründung) aber dankbar.

03.05.2025, 15:59

G030524

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RE: Wahrscheinlichkeit bei einander ausschließenden Ereignissen

Zitat:

Ich tendiere zu ersterer Formel, wäre für eine Rückversicherung

Ich auch, weil jeweils mehrere Bedingungen zugleich erfüllt sein müssen.

03.05.2025, 17:07

HAL 9000

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Selbstverständlich ist die zweite Formel richtig:

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung disjunkter Ereignisse ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten - das war's!

Die erste Formel passt zu folgendem anderen Szenario:

Wenn $\begin{eqnarray*} P_{Fliege} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Fliege in der Stunde ist, bei $\begin{eqnarray*} P_{Mücke} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{Käfer} \end{eqnarray*}$ analog für die beiden anderen Insektenkategorien, dann ist dieses dort berechnete $\begin{eqnarray*} P_{Insect} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Insektenfalle nur Insekten genau einer Kategorie zu finden sind. Hierbei muss allerdings zusätzlich vorausgesetzt werden, dass die Insekten unterschiedlicher Kategorien die Insektenfalle unabhängig voneinander anfliegen. (Mit "genau eine" klappt die Argumentation übrigens nicht, denn das Gegenteil davon ist "keine oder mindestens zwei")

Diese Unabhängigkeitsvoraussetzung ist beim Originalszenario und der dort richtigen zweiten Formel übrigens nicht nötig.

04.05.2025, 10:36

Studentu

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Hallo Hal9000,

danke für deine Antwort.

Deine Ausführungen zur zweiten Formel verstehe ich und sind mir bis auf die ganz unten angeführte Unklarheit eingängig. Auch hast du Recht, dass meine vorgeschlagene zweite Formel aufgrund des "genau eine" anstatt "mindestens eine" etwas ganz anderes bedeutet hätte als intendiert.

Warum aber die erste Formel richtig ist, also warum sie nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ergbit, dass genau eine Fliege und/oder genau eine Mücke und/oder genau ein Käfer in die Falle gehen, sondern dass genau eine Fliege oder genau eine Mücke oder genau ein Käfer in die Falle geht (mit ausschießendem oder), finde ich leider nicht so offensichtlich.
Kannst du das vlt. noch irgendwie herunterbrechen oder an einem ganz simplen Beispiel veranschaulichen? Ich würde das wirklich gerne verstehen und G030524s Antwort zeigt auch, dass ich wohl nicht der Einzige bin, der dabei auf der Leitung steht.

Zum Beispiel ist mir nicht klar, wieso wir, wenn wie von dir für die zweite Formel angegeben (*) $\begin{eqnarray*} P_{Fliege}, P_{Mücke}, P_{Käfer} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten für mindestens eine Fliege, aber keine/n Mücke, Käfer für mindestens eine Mücke, aber keine/n Fliege, Käfer und für mindenstens eine Käfer, aber keine Fliege, Mücke sind, darauf die von mir angeführte zweite Formel mit den (1-P) anwenden müssen, um die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eine Mücke, aber keine Fliege und kein Käfer ODER mindestens eine Fliege, aber keine Mücke und kein Käfer ODER mindestens ein Käfer, aber keine Fliege und keine Mücke' (mit ausschließendem oder) zu bekommen,
aber für die Wahrscheinlichkeit 'genau eine Mücke, aber keine Fliege oder Käfer ODER genau eine Fliege, aber keine Mücke oder Käfer ODER genau ein Käfer, aber keine Mücke oder Fliege' jetzt nicht mehr mit Gegenwahrscheinlichkeiten arbeiten müssen, sondern einfach die Wahrscheinlichkeiten, die ich im Eingangspost definiert habe, für 'genau eine, aber keines der anderen Insekten' aufsummieren dürfen? Wieso müssen wir hier nicht die Wahrscheinlichkeit für 'genau eine, aber keines der anderen Insekten' mit 1 minus der Wahrscheinlichkeit für 'mindestens eines der anderen Insekten' multiplizieren?

(*) Oder hattest du bei den von dir definierten Wahrscheinlichkeiten mit mindestens nicht gemeint, 'mindestens eine Fliege, aber keine/n Mücke, Käfer', sondern nur 'mindestens eine Fliege [und evtl. eine Mücke oder Käfer oder auch nicht, die beachten wir hier noch gar nicht]'?

04.05.2025, 12:27

Leopold

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Drei Ereignisse $\begin{align*} F, M, K \end{align*}$ teilen den Ergebnisraum $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ in disjunkte Bereiche auf. Jeder dieser Bereiche kann in der Form

$\begin{align*} A \cap B \cap C \ \ \text{mit} \ \ A \in \left\{ F , \overline{F} \right\}, \ B \in \left\{ M , \overline{M} \right\}, \ C \in \left\{ K , \overline{K} \right\} \end{align*}$

geschrieben werden (die Überstreichung bezeichne das Komplement bezüglich $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ , also das Gegenereignis). Da es für $\begin{align*} A, B, C \end{align*}$ jeweils zwei Möglichkeiten gibt, nämlich mit Überstreichung oder ohne, sind es $\begin{align*} 2^3 = 8 \end{align*}$ Bereiche.

In deiner Aufgabe sind

$\begin{align*} P \left( F \cap \overline{M} \cap \overline{K} \right) = p_{\text{Fliege}} \end{align*}$ (hellgrün)
$\begin{align*} P \left( \overline{F} \cap M \cap \overline{K} \right] = p_{\text{Mücke}} \end{align*}$ (dunkelrosa)
$\begin{align*} P \left( \overline{F} \cap \overline{M} \cap K \right) = p_{\text{Käfer}} \end{align*}$ (dunkelblau)

gegeben. Im Venn-Diagramm sieht das so aus:

[attach]58267[/attach]

Ich vermute, deine Verständnisschwierigkeiten rühren daher, daß dir zwar einerseits schon bewußt ist, daß es zum Beispiel um $\begin{align*} F \cap \overline{M} \cap \overline{K} \end{align*}$ geht, du das beim Weiterüberlegen und Rechnen aber irgendwie verdrängst und durch $\begin{align*} F \end{align*}$ ersetzt. Das führt dann zu deiner Denkkollision. Sag mir, ob ich recht habe.

04.05.2025, 15:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} P \left( F \cap \overline{M} \cap \overline{K} \right) = p_{\text{Fliege}} \end{align*}$
$\begin{align*} P \left( \overline{F} \cap M \cap \overline{K} \right) = p_{\text{Mücke}} \end{align*}$
$\begin{align*} P \left( \overline{F} \cap \overline{M} \cap K \right) = p_{\text{Käfer}} \end{align*}$

Leider nein - der gesamte Ereignisraum ist schon etwas komplizierter, und zwar eben wegen jener "genau"-Geschichte - ich wiederhole mich nochmal: Das Gegenteil von "genau 1" ist "kein oder mindestens 2". Und bei diesem Sachverhalt einer Insektenfalle kann man nun mal nicht einfach den Fall ausschließen, dass mehr als ein Exemplar einer Insektensorte gefangen wird. Augenzwinkern

Symbolisch würde ich es so formulieren: Sei $\begin{eqnarray*} (F,M,K) \end{eqnarray*}$ der Zufallsvektor, der die Anzahlen der in einer Stunde in der Insektenfalle gefangenenen Fliegen, Mücken und Käfer kennzeichnet, dann sind gegeben

$\begin{eqnarray*} P\left( F=1,M=0,K=0 \right) = p_{\text{Fliege}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left( F=0,M=1,K=0 \right) = p_{\text{Mücke}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left( F=0,M=0,K=1 \right) = p_{\text{Käfer}} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P\left(F+M+K=1\right) \end{eqnarray*}$ , und das ist nun mal $\begin{eqnarray*} p_{\text{Fliege}} + p_{\text{Mücke}} +p_{\text{Käfer}} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Geht es darum, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass nur Insekten genau einer Kategorie gefangen werden (von der aber beliebig viele), dann ist das aber offenkundig nicht einfach durch $\begin{eqnarray*} P(F+M+K>0) \end{eqnarray*}$ beschreibbar - klappt nur bei Anzahl Eins. Augenzwinkern

05.05.2025, 17:58

Studentu

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Danke für eure Hilfe euch beiden!

@Leopold: Ja genau, ich glaube, das ist so in etwas meine Verständnisschwierigkeit. Also ich weiß ja, dass wir vorweg die Wahrscheinlichkeiten so definieren, dass $\begin{eqnarray*} P_{Fliege} \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit für Anzahl(Fliegen) = 1, Anzahl(Mücken) = 0, Anzahl(Käfer) = 0 ist, also innerhalb dieser Wahrscheinlichkeitsdefinition die Ereignisse Mücke und Käfer schon ausgeschlossen werden.
Aber mir ist bislang noch nicht eingängig, warum die Summe der drei Wahrscheinlichkeiten immer noch weiß, dass exklusviv nur einer ihrer Summanden eintreten darf...

@Hal9000: Danke für die Richtigstellung. Lässt sich Leopolds Venn-Diagramm aber trotzdem anwenden, wenn wir z.B. $\begin{eqnarray*} F \cap \overline{M} \cap \overline{K} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (F=1)\cap (M=0) \cap(K=0) \end{eqnarray*}$ ersetzen?
Falls ja, dann irritiert mich daran zudem, dass es dort Überlappungen zwischen Ereignissen gibt, die gar nicht gleichzeitig eintreten können. Also wird die Antwort wohl lauten, nein, man kann die dortigen Bezeichnungen nicht so einfach ersetzen... Wie sähe denn eine Grafik/ein Diagramm zum vorliegenden Problem dann korrekt aus?
Deine Aussage mit "Gesucht ist" erscheint mir einerseits klar und andererseits denke ich mir dann doch wieder, "aber was, wenn duch die Summation der drei Wahrscheinlichkeiten z.B. die Fälle (F=1, M=0, K=0) und (F=0, M=1, K=0) gleichzeitig eintreten können"?

05.05.2025, 19:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
$\begin{eqnarray*} F \cap \overline{M} \cap \overline{K} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (F=1)\cap (M=0) \cap(K=0) \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Formelmäßig ist letzteres richtig, aber wie willst du das mit genau diesem Venn-Diagramm darstellen??? unglücklich

Du kannst dieses tote Pferd noch eine Weile reiten, aber ohne mich - ich habe hinreichend deutlich gemacht, wo die Schwierigkeit liegt.

05.05.2025, 19:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Studentu
Wie sähe denn eine Grafik/ein Diagramm zum vorliegenden Problem dann korrekt aus?

Nun, wir haben für jede der drei Insektenkategorien ein disjunkte Zerlegung der Grundmenge in drei Ereignisse:

$\begin{eqnarray*} \Omega = [F=0] \cup [F=1] \cup [F\geq 2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Omega = [M=0] \cup [M=1] \cup [M\geq 2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Omega = [K=0] \cup [K=1] \cup [K\geq 2] \end{eqnarray*}$

Viel Spaß beim Aufmalen des zugehörigen "allgemeinen" Venn-Diagramms mit allen $\begin{eqnarray*} 3^3=27 \end{eqnarray*}$ möglichen Schnittflächen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Studentu
aber was, wenn duch die Summation der drei Wahrscheinlichkeiten z.B. die Fälle (F=1, M=0, K=0) und (F=0, M=1, K=0) gleichzeitig eintreten können"?

Wie soll das denn bitte schön passieren können? Dann müsste zugleich F=1 und F=0 gelten... Finger1

Wenn du es gern auch noch symbolisch sehen willst: Das Komma in solchen Wahrscheinlichkeiten bzw. Ereignissen steht für Ereignisschnitt, d.h., es ist $\begin{eqnarray*} [F=1,M=0,K=0] = [F=1]\cap [M=0]\cap [K=0] \end{eqnarray*}$ . Daher gilt

$\begin{eqnarray*} [F=1,M=0,K=0]\cap [F=0,M=1,K=0] = [F=1]\cap [M=0]\cap [K=0]\cap [F=0]\cap [M=1]\cap [K=0] \end{eqnarray*}$ .

Bereits der "Teilschnitt" $\begin{eqnarray*} [F=1]\cap [F=0] \end{eqnarray*}$ ist leer - daran ändert sich dann auch nichts mehr, wenn man die vier weiteren Ereignisse noch mit "dranschneidet".

P.S.: Irgendwie offenbart diese deine "Idee", dass es mit dem Verständnis von Ereignisbeschreibungen bei dir nicht weit her ist.

05.05.2025, 20:22

Leopold

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Letztlich fehlt in der Aufgabe die allgemeine Beschreibung des Zufallsexperiments. Es ist nur von irgendwelchen Ereignissen die Rede. Aber was sind überhaupt die möglichen Ausgänge? Ich habe die Aufgabe jedenfalls so aufgefaßt, daß in der nächsten Stunde entweder genau eine Fliege oder keine Fliege oder (nicht ausschließend) genau eine Mücke oder keine Mücke oder (nicht ausschließend) genau ein Käfer oder kein Käfer in die Falle gehen. Das ist vielleicht keine besonders realistische Interpretation, wenn man an sommerliche Mückenschwärme denkt, die einen verfolgen. Da ist vielleicht HALs Auffassung, daß in der nächsten Stunde auch siebenhundertdreiundvierzig oder siebenhundertdreiundvierzig Millionen Mücken in die Falle gehen können, realistischer. Aber sei's drum – wie wirklichkeitsnah ist solch eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe überhaupt?

Hier mein Ergebnisraum in formalisierter Darstellung. Die 1 stehe für "geht in die Falle", die 0 für "geht nicht in die Falle":

$\begin{align*} \Omega = \left\{ \, \omega = \left( f,m,k \right) \, \left| \ \ f,m,k \in \{ 0,1 \} \, \right. \right\} = \left\{ 0,1 \right\}^3 \end{align*}$

Und betrachtet werden die Ereignisse

$\begin{align*} F = \left\{ \, \omega = (f,m,k) \in \Omega \, \left| \ \ f=1 \, \right. \right\} \, , \ \ M = \left\{ \, \omega = (f,m,k) \in \Omega \, \left| \ \ m=1 \, \right. \right\} \, , \ \ K = \left\{ \, \omega = (f,m,k) \in \Omega \, \left| \ \ k=1 \, \right. \right\} \end{align*}$

Die acht möglichen Ausgänge lassen sich nun passend in die Felder des Venn-Diagramms eintragen.

06.05.2025, 07:33

HAL 9000

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Das überzeugt mich nicht. Zusätzliche, ziemlich realitätsferne Modelleinschränkungen wie "maximal ein Insekt pro Kategorie" zu treffen, nur um ein bestimmtes Venn-Diagramm anbringen zu können, sehe ich nicht als triftigen Grund an. Zumal diese Einschränkung überhaupt nicht nötig ist, um $\begin{eqnarray*} P_{Insekt} = P_{Fliege} + P_{Mücke} + P_{Käfer} \end{eqnarray*}$ zu begründen.

P.S.: Das ansonsten für solche Anzahlen übliche einfache Modell "Poissonverteilung" mag auch nicht der Weisheit letzter Schluss sein, ist aber deutlich passender als mit Anzahlbeschränkung 1 zu arbeiten.

07.05.2025, 14:24

Studentu

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Hallo ihr beiden, danke euch!

Hal9000s symbolische Darstellung mit dem Schnitt hat mich überzeugt, daran wird offensichtlich, dass die Summation der drei Wahrscheinlichkeiten kein Problem hineinbringen kann und somit Formel 2 aus dem ersten Post richtig sein kann und muss. smile

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