Kreuzprodukt

17.05.2025, 08:49

jmd2

Kreuzprodukt

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ein Kreuzprodukt von 2 Vektoren ergibt einen Vektor der auf den beiden senkrecht steht.
Ein Kreuzprodukt von 2 Matrizen ergibt auch einen Vektor.
Was hat dieser Vektor für eine Bedeutung?

Viele Grüße

Meine Ideen:
Keine Idee

17.05.2025, 09:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von jmd2
Kreuzprodukt von 2 Matrizen

Da wirst du wohl den meisten (inklusive mir) auf die Sprünge helfen müssen, was das überhaupt sein soll (d.h., wie das definiert ist) ! verwirrt

17.05.2025, 09:32

jmd2

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Da habe ich 2 youtube Videos gesehen
Titel
Wozu brauche ich den Ricci-Tensor? (Kreuzprodukt von Tensoren)
und
Mathematik, Kreuzprodukt zweier Matrizen mit Hilfe des Ricci Tensors

17.05.2025, 11:10

HAL 9000

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Hmm, wenn ich diese Definition richtig verstanden habe, gilt dann folgendes: Für $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathbb{R}^{3\times 3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \left(a_1,a_2,a_3\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\left(b_1,b_2,b_3\right) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} a_k,b_k\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ Spaltenvektoren sind, ist $\begin{eqnarray*} A\times B = \sum_{k=1}^3 a_k\times b_k \end{eqnarray*}$ .

17.05.2025, 13:37

jmd2

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} A\times B = \sum_{k=1}^3 a_k\times b_k \end{eqnarray*}$

Das ist ja interessant. Man kann jetzt erkennen, wie dieser Vektor zustande kommt

17.05.2025, 14:22

HAL 9000

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Ok, es geht sogar etwas allgemeiner: Für $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathbb{R}^{3\times d} \end{eqnarray*}$ für beliebige Dimensionen $\begin{eqnarray*} d\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} A\cdot B^T\in \mathbb{R}^{3\times 3} \end{eqnarray*}$ , womit man den Ricci-Tensor anwenden kann, und es gilt dort dann

$\begin{eqnarray*} A\times B = \sum_{k=1}^d a_k\times b_k \end{eqnarray*}$ .

Spezialfall $\begin{eqnarray*} d=1 \end{eqnarray*}$ ist das herkömmliche Kreuzprodukt von Vektoren.

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