Die Inverse einer multidiagonalen Matrix

18.05.2025, 14:18	Huldrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Inverse einer multidiagonalen Matrix Ich möchte die Inverse einer "multidiagonalen" Matrix berechnen, ohne die Nullen in der Berechnung zu involvieren. Dies vor allem um den Speicher zu schonen (32GB). Ich schaffe die Berechnung mit Mathematica konventionell bis zur Dimension 35'000, aber dann ist Schluss (braucht zu viel RAM). Ich möchte bis 70'000 kommen in Schritten von 1000. Die Anzahl der Diagonalen mit nicht verschwindenden Elementen ist 40 auf beiden Seiten der Hauptdiagonale (also insgesamt 81 Diagonale). Nach Wikipedia gibt es ja eine Formel für eine tridiagonale Matrix, mit der nur die nicht verschwindenden Elemente involviert sind. Gibt es dafür auch eine allgemeine Formel? Oder kennt jemand MatLab? Ich frage mich, ob mit MatLab nicht weniger Speicher gebraucht wird. Leider bin ich damit überhaupt nicht vertraut...
18.05.2025, 14:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Willst du tatsächlich die komplette inverse Matrix berechnen - oder nur ein Lineares Gleichungssystem mit dieser dünn besetzten Matrix lösen? Im ersteren Fall: Bin da nicht so firm beim Thema "dünn besetzte Matrizen", aber bist du dir sicher, dass die inverse Matrix in deinem Anwendungsfall dann tatsächlich auch nur dünn besetzt ist? Falls nicht, sie enthält ja $\begin{eqnarray} 70\,000^2 = 4.9\cdot 10^9 \end{eqnarray}$ Einträge, was bei Vollspeicherung mit double knapp 40 GByte benötigt - ganz egal ob mit Mathematica oder sonst welcher Software.
18.05.2025, 16:25	Huldrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will einen Mittelwert erhalten, der sich nach der Formel $\begin{eqnarray} \left\|(1-F)^{-1} A\right\| \end{eqnarray}$ berechnet, wobei F die besagte multidiagonale Matrix, 1 die Identitätsmatrix und A ein Vektor ist. \|.\| ist die 1-Norm, die einfach alle Elemente summiert.
18.05.2025, 16:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also doch letzteres, d.h. lineares Gleichungssystem! D.h., du musst dazu ja gar nicht $\begin{eqnarray} (1-F)^{-1} \end{eqnarray}$ berechnen, sondern "nur" das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} (1-F)\cdot x = A \end{eqnarray}$ lösen, um anschließend $\begin{eqnarray} \\|x\\|_1 \end{eqnarray}$ zu bestimmen - soweit ich weiß, ist das schon mal eine enorme Vereinfachung gegenüber der kompletten Inversenberechnung.
18.05.2025, 17:01	Huldrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessanter Lösungsansatz. Ich gehe dem mal nach. Auf den ersten Blick sollte das eigentlich funktionieren... Vielen Dank.

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