Normen von bijektiven Operatoren

19.05.2025, 17:01	matheoz	Auf diesen Beitrag antworten »
Normen von bijektiven Operatoren Meine Frage: Gegeben ist der Operator A : c ?> c_0, A((x_n)) = (x_n - lim x_n + x_n / n) Dann gilt \|\|A\|\| <= 3, wobei \|\|?\|\| die Oparatirnorm bezeichnet. Wie kann ich aber jetzt \|\|A^(-1)\|\| nach oben abschätzen? Meine Ideen: Ich brauche dringend Hilfe
20.05.2025, 14:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normen von bijektiven Operatoren Bist du dir sicher, dass der Operator bijektiv ist? Natürlich hängt das davon ab, was "c ?> c_0" genau bedeutet. Aber: $\begin{eqnarray} B_d ((y_n)) = ( (y_n+d) \cdot \frac { n } {n+1} ) \end{eqnarray}$ sollte für jedes $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ eine Inverse für Folgen mit Grenzwert $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ sein, d.h. $\begin{eqnarray} B(A(x_n)) = (x_n) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x_n \to d \end{eqnarray}$ . Und nachdem $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ angewandt wurde, sehe ich nicht wie man dort noch wieder zurück zu einem eindeutigen Grenzwert kommt. Oder anders formuliert. Es gilt $\begin{eqnarray} A(B_d(y_n)) = A(B_{d'}(y_n)) \end{eqnarray}$ für alle Nullfolgen $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ und beliebige $\begin{eqnarray} d, d' \end{eqnarray}$ .
20.05.2025, 14:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, dass dort $\begin{eqnarray} A:~c\to c_0 \end{eqnarray}$ stehen soll, mit $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ... Menge der konvergenten Folgen $\begin{eqnarray} c_0 \end{eqnarray}$ ... Menge der gegen Null konvergenten Folgen. Ansonsten hat IfindU natürlich vollkommen recht mit seinem Einwand. Zur Bijektion könnte es gemacht werden via $\begin{eqnarray} f:~c\to c_0\times \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\left( \left(x_n\right) \right) = \begin{pmatrix} \left( \frac{n+1}{n} x_n - \lim\limits_{n\to\infty} x_n\right) \\ \lim\limits_{n\to\infty} x_n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dort haben wir dann Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}\left( \left(y_n\right), d \right) = \left( \frac{n}{n+1} \left(y_n+d\right) \right) \end{eqnarray}$ . Mit welcher Operatornorm dann aber im Zielraum gearbeitet werden müsste, musst du selbst auseinander klamüsern.
20.05.2025, 17:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder man schränkt A auf c_0 ein. Dann hat man auch Injektivität

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »