Homogene DGL

19.05.2025, 20:18

MoinMoinausKiel

Homogene DGL

Meine Frage:
Homogene DGL n-ter Ordnung:
Das charakteristische Polynom kann eine komplexe Lösung haben. Da man nur reelle Lösung haben möchte, betrachtet man nur den Realteil der komplexen Lösung, oder?

Meine Ideen:
Damit die Lösung der homogenen Gleichung erfüllt ist, ist der Real- als auch Imaginärteil beim einsetzen in die DGL = 0, und da man nur reelle Lösungen betrachtet, ist es legitim nur den Realteil zu berücksichtigen.

20.05.2025, 04:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von MoinMoinausKiel
Da man nur reelle Lösung haben möchte, betrachtet man nur den Realteil der komplexen Lösung, oder?

So klappt das nicht, sondern so:

Eine Polynomgleichung mit reellen Koeffizienten besitzt mit einer komplexen Lösung $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$ zwangsläufig auch die zugehörige konjugiert komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} a-ib \end{eqnarray*}$ als Lösung.

Dann sind (analog zu den reellen Nullstellen) alle Linearkombinationen $\begin{eqnarray*} C_1\cdot e^{(a+ib)x} + C_2\cdot e^{(a-ib)x} \end{eqnarray*}$ Lösung der homogenen DGL. Nun interessieren uns aber ja nur reelle Lösungen, aber solche gibt es in dieser Linearkombination für bestimmte komplexe $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ : Schlüsselt man nämlich nach Euler-Formel auf

$\begin{eqnarray*} C_1\cdot e^{(a+ib)x} + C_2\cdot e^{(a-ib)x} = e^{ax}\cdot \left( C_1\cdot e^{ibx} + C_2\cdot e^{-ibx} \right) = e^{ax}\cdot \left( C_1\left(\cos(bx)+i\sin(bx)\right) + C_2\left(\cos(bx)-i\sin(bx)\right) \right) = e^{ax}\cdot \left( \left(C_1+C_2\right)\cos(bx)+i\left(C_1-C_2\right)\sin(bx) \right) \end{eqnarray*}$ ,

und indem man für $\begin{eqnarray*} \tilde{C_1}:=C_1+C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{C_2}:=i\left(C_1-C_2\right) \end{eqnarray*}$ nur reelle Zahlen wählt, bekommt man als allgemeine reelle Lösung

$\begin{eqnarray*} e^{ax}\cdot \left( \tilde{C_1}\cos(bx)+\tilde{C_2}\sin(bx) \right) \end{eqnarray*}$ ,

welche diesem komplexen Lösungspaar $\begin{eqnarray*} a\pm ib \end{eqnarray*}$ der charakterischen Gleichung zugeordnet sind.

Dein Vorschlag "nur Realteil beachten", also Imaginärteil weglassen, führt zu $\begin{eqnarray*} C\cdot e^{ax} \end{eqnarray*}$ , was i.a. keine Lösung der homogenen DGL sein dürfte - davon kannst du dich in einer Probe gern überzeugen. unglücklich

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Einfachstes Beispiel ist die DGL $\begin{eqnarray*} y'' + k^2 y = 0 \end{eqnarray*}$ mit charakteristischer Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^2 + k^2 = 0 \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda = \pm ik \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a=0,b=k \end{eqnarray*}$ mit obigen Bezeichnungen. Allgemeine Lösung der DGL ist dann

$\begin{eqnarray*} y(x) = \tilde{C_1}\cos(kx)+\tilde{C_2}\sin(kx) \end{eqnarray*}$ .

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