Funktionalgleichungen

21.05.2025, 11:01	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionalgleichungen Meine Frage: aus Aczél, Vorlesungen über Funktionalgleichungen, S. 60 Es geht um die Polynom-Darstellung der Funktionalgleichung f(x+y) = F [f(x), f(y)] unter Beachtung der Assoziativität, also F[F(u,v), w] = F [u, F(v,w)]. Die nicht-triviale Polynomdarstellung von F(u,v) sei: Auv + Bu + Bv + C Soweit so gut und mir auch klar. Jetzt kommt mein Problem: Es gelte ja logischerweise nach Assoziativannahme auch dann der Zusammenhang F [F(u,u), v) = F (u, F(u,v)]. Wenn man in diese Gleichung obigen Term einsetze, sprich F(u,v) = Auv + Bu + Bv + C, so erhalten wir AC = B² - B (???). Diesen letzten Schritt, also das Ergebnis, kann ich NICHT nachvollziehen! Ich verstehe insbesondere nicht, wie C plötzlich mit A mutlipliziert wird, denn C ist doch eine additive Konstante im Polynom, oder? Meine Ideen: Na ja, wenn ich F(u,v) = Auv + Bu +Bv + C in F [F(u,u), v] = F [u, F(u,v)] einzusetzen versuche - obwohl ich ehrlicherweise nicht sicher bin ob ich das richtig mache - komme ich auf 2Auv + Bu + Bv + C = Auv + Bu² + Bv + C, Ok, Bv lässt sich streichen, und wenn ich jetzt mache: - Auv, und - Bu, erhalte ich: Auv = Bu² - Bu , jetzt geteilt durch u beide Seiten, ergibt: Av = B² - B. Das ist an der vorgeschlagenen Lösung schon nah dran, aber Av ist halt nicht AC..... und oben die 2Auv, da bin ich mir auch nicht ganz sicher. Wer kennt sich mit Funktionalgleichungen aus und kann mir meinen offensichtlichen Denkfehler aufzeigen?
21.05.2025, 12:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Gleichung $\begin{align} F \left( F(u,u) , v \right) = F \left( u, F(u,v) \right) \end{align}$ erhalte ich $\begin{align} \quad A^2u^2v+ABu^2+2ABuv+2B^2u+(B+AC) \, v+BC+C \end{align}$ $\begin{align} = A^2u^2v+ABu^2+2ABuv+(B^2+B+AC)\, u+B^2v+BC+C \end{align}$ Ergänzender Tipp: Es könnte helfen, vor dem Einsetzen in das äußere $\begin{align} F \end{align}$ die Variablen umzubenennen: $\begin{align} F(r,s) = Ars + B(r+s) + C \end{align}$ Nun einmal einsetzen: $\begin{align} r = F(u,u) = Au^2 + 2Bu + C \end{align}$ und $\begin{align} s = v \end{align}$ und nochmal einsetzen: $\begin{align} r = u \end{align}$ und $\begin{align} s = F(u,v) = Auv + B(u+v) + C \end{align}$ Gleichsetzen und Koeffizientenvergleich durchführen.
21.05.2025, 15:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab dieses $\begin{eqnarray} F(u,v) = Auv + B(u+v) + C \end{eqnarray}$ speziell für $\begin{eqnarray} AC = B^2-B \end{eqnarray}$ interessehalber mal weiter verfolgt: Fall 1: $\begin{eqnarray} A=0 \end{eqnarray}$ Fall 1.1: $\begin{eqnarray} B=0 \end{eqnarray}$ Hier gibt es nur die eine Konstantlösung $\begin{eqnarray} f(x)=C \end{eqnarray}$ der Funktionalgleichung. Fall 1.2: $\begin{eqnarray} B=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(x) + f(y) + C \end{eqnarray}$ führt per Verschiebung $\begin{eqnarray} g(x) := f(x)+C \end{eqnarray}$ zur Cauchy-Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} g(x+y) = g(x) + g(y) \end{eqnarray}$ . Fall 2: $\begin{eqnarray} A\neq 0 \end{eqnarray}$ Äquivalente Multiplikation der Funktionalgleichung mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} Af(x+y) = A^2f(x)f(y) + AB(f(x)+f(y)) + AC = A^2f(x)f(y) + AB(f(x)+f(y)) + B^2-B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Af(x+y) + B = (Af(x)+B) (Af(y) + B) \end{eqnarray}$ Diesmal landet man per $\begin{eqnarray} h(x):=Af(x)+B \end{eqnarray}$ bei der multiplikativen Gleichung $\begin{eqnarray} h(x+y) = h(x)\cdot h(y) \end{eqnarray}$ , die sich durch Logarithmieren $\begin{eqnarray} g(x)=\ln(h(x)) \end{eqnarray}$ auf die o.g. Cauchy-Funktionalgleichung zurückführen lässt. Außer im Fall der konstanten Triviallösung $\begin{eqnarray} h(x)=0 \end{eqnarray}$ ist dieses Logarithmieren problemlos möglich (ich gehe mal davon aus, dass es hier nur um reelle Funktionen geht).
22.05.2025, 09:42	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hinweise, aber das wird im Aczél-Buch zum Glück gut ausgeführt, ziemlich genau so systematisch und stringent wie von Dir. Seine Herleitungen in den Vorlesungen, die ich gerade lese, sind eigentlich sehr "idiioten/innen-sicher", also auch für Anfänger/innen und Laien wie mich gut nachvollziehbar, außer halt in meiner an euch gerichteten Frage, die jetzt aber zum Glück beantwortet ist.
22.05.2025, 09:45	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke. Ich sehe - ich habe nicht vollständig eingesetzt, grob gesagt muss ich bei der zweiten Stufe - also der Lösung der "Einsetzung von der Einsetzung" - "alles mit allem" kombinieren, sprich auch A und B je multiplikativ mit der Konstanten C. Das macht Sinn und führt zu dem gewünschten Ergebnis.

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