DGL n-ter Ordnung Lösungsformel mit Vielfachheit > 1 der Nullstelle

22.05.2025, 17:52

MoinMoinausKiel

DGL n-ter Ordnung Lösungsformel mit Vielfachheit > 1 der Nullstelle

Meine Frage:
Ich will Euch nicht mit meinen Anfängerfragen nerven, wenn jemand jedoch Interesse hat diese zu antworten entzückt mich das natürlich.
Thema: Homogene linearen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lösungsformel
Frage: e^y*t, t*e^(y*t), ..., t^(m-1)*e^(y*t), wobei y die Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist mit Vielfachheit m, die > 1 sei. Warum wird mit der abhängigen Variable t multipliziert bei Vielfachheit > 1 für Lösungen der DGL.

Meine Ideen:
In der Linearkombination braucht man n unabhängige Summanden bei Ordnung n. Mich interessiert, warum die Lösung ihre Gültigkeit behält.

22.05.2025, 21:41

HAL 9000

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RE: DGL n-ter Ordnung Lösungsformel mit Vielfachheit > 1 der Nullstelle
$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist eine seltsame Symbolwahl für einen Eigenwert (Nullstelle des charakteristischen Polynom) - ich nehme mal lieber $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

DGL $\begin{eqnarray*} y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = 0 \end{eqnarray*}$ besitzt die charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray*} P(\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(\lambda) = \left(\lambda-\lambda_0\right)^m \cdot Q(\lambda) \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ von niedrigerem Grad.

Substituiert man nun $\begin{eqnarray*} y(t) = e^{\lambda_0 t}\cdot z(t) \end{eqnarray*}$ , dann genügt $\begin{eqnarray*} z(t) \end{eqnarray*}$ der DGL

$\begin{eqnarray*} z^{(n)} + b_{n-1}y^{(n-1)} + \ldots + b_1 z' + b_0 z = 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

wobei die $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten des ausmultiplizierten Polynoms $\begin{eqnarray*} \tilde{P}(\lambda) := P(\lambda + \lambda_0) = \lambda^m \cdot Q(\lambda+\lambda_0) \end{eqnarray*}$ sind. D.h., es ist offenkundig $\begin{eqnarray*} b_0 = b_1 = \ldots = b_{m-1} = 0 \end{eqnarray*}$ , womit sofort klar ist, dass sämtliche Polynome $\begin{eqnarray*} z(t) = t^j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j=0,1,\ldots,m-1 \end{eqnarray*}$ Lösungen von (*) sind - denn für die ist $\begin{eqnarray*} z^{(m)}=0 \end{eqnarray*}$ , und die noch höheren Ableitungen sind dann selbstredend erst recht gleich Null. Rücksubstituiert ergibt das genau jene Lösungsfunktionen $\begin{eqnarray*} y(t) = t^j\cdot e^{\lambda_0 t} \end{eqnarray*}$ .

23.05.2025, 09:04

MoinMoinausKiel

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Vielen Dank für deine Antwort! geschockt

Warum reicht es z(t) zu beachten und warum kann man die Koeffizienten der DGL als Koeffizienten des linksverschobenen Polynoms verwenden?

23.05.2025, 09:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von MoinMoinausKiel
Warum reicht es z(t) zu beachten

Noch nie was von Substitution gehört? Man substituiert $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gemäß dem genannten Ansatz $\begin{eqnarray*} y(t) = e^{\lambda_0 t}\cdot z(t) \end{eqnarray*}$ . Dann löst man die entstehende $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -DGL und hat dann über diesen Ansatz auch die Lösung der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -DGL.

Zitat:

Original von MoinMoinausKiel
warum kann man die Koeffizienten der DGL als Koeffizienten des linksverschobenen Polynoms verwenden?

Ausrechnen!!!

Durch Vollständige Induktion kann man nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} y^{(k)} = e^{\lambda_0 t} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \lambda_0^{k-j} z^{(j)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Die Koeffizienten, die da in der Summe rechts stehen sind dieselben, wie sie bei der Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \left(\lambda+\lambda_0\right)^k \end{eqnarray*}$ per Binomischen Satz entstehen. Das gilt für jeden einzelnen Summanden des Polynoms und ergibt in der Summe dann diese Verschiebung.

Eine andere Möglichkeit wäre es, über die Laplace-Transformation zu gehen - aber sollte das bei euch noch nicht behandelt worden sein, würde das den Rahmen hier wohl sprengen.

23.05.2025, 09:48

MoinMoinausKiel

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Vielen Dank, dass waren beides sehr gute Antworten, die mir ermöglicht haben das ganze nachzuvollziehen.
Big Laugh

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