Positiv semidefinit --> Hermitesch?

23.05.2025, 19:01

Studentu

Positiv semidefinit --> Hermitesch?

Hallo allerseits!
Ich habe gehört, dass jede positiv semidefinite [komplexe] Matrix automatisch Hermitesch ist und somit jede positiv semidefinite reelle Matrix automatisch symmetrisch, zumindest im Endlichdimensionalen.
Google hat mir aber Widersprüchliches dazu geliefert. Darum möchte ich mich vergewissern, ob die Aussage stimmt?
Wenn ja, wie lässt sie sich beweisen?
Und gilt das nur im Endlichdimensionalen oder auch darüber hinaus?

23.05.2025, 20:24

URL

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RE: Positiv semidefinit --> Hermitesch?
Ist Symmetrie nicht Teil der Definition der Definitheit? verwirrt

Edit: Im reellen Fall: Wegen $\begin{eqnarray*} x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx \end{eqnarray*}$ hat man auch $\begin{eqnarray*} x^TAx=x^T\left(\frac 1 2 (A+A^T)\right) x \end{eqnarray*}$ . Man kann sich also im Grunde auf symmetrische Matrizen kaprizieren.
Tut man das nicht, ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit genau dann wenn es die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 (A+A^T) \end{eqnarray*}$ ist. Damit ist es nicht schwer, eine positiv semidefinite, nicht symmetrische Matrix zu finden.
Edit2: Im komplexen Fall muss $\begin{eqnarray*} \bar x^TAx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ reell sein, das geht nur für hermitesches $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

24.05.2025, 07:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Im komplexen Fall muss $\begin{eqnarray*} \bar x^TAx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ reell sein, das geht nur für hermitesches $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

Der Beweis dessen ist nicht schwer - eignet sich gut als Übungsaufgabe.

24.05.2025, 09:05

Studentu

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Hallo, danke für eure Antworten.

@URL: Mich hat deine Antwort jetzt leider noch mehr verwirrt: Beim reellen schreibst du zunächst, dass es wohl aus der Definition folgt, dass pos. definite reelle Matrizen auch symmetrisch sind.
Dann wiederum schreibst du, dass leicht Beispiele finden kann, die positiv semidefinit, aber nicht symmetrisch sinnd.
Also im komplexen Fall muss bei positiven semidefiniten Matrizen x¯TAx für alle x reell sein, was nach sich zieht, dass A hermitesch ist? Aber wenn jetzt diese allgemein komplexe Matrix zufällig nur reelle Einträge hat, bedeutet die Hermitizität ja genau Symmetrie, d.h. pos. semidefinite reelle Matrizen ziehen Symmetrie nach sich?

24.05.2025, 18:27

URL

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Zunächst nochmal zum komplexen Fall: Aus $\begin{eqnarray*} x^TAx\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb C^n \end{eqnarray*}$ folgt zunächst, dass $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ immer reell ist und daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hermitesch sein muss. Im komplexen Fall ist es also unerheblich, ob man in der Definition einer positiv semidefiniten Matrix voraussetzt, dass sie hermitesch ist. Sie ist es notwendigerweise.
Hat die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nur reelle Werte, dann ist sie eben symmetrisch. Der entscheidende Unterschied zum reellen Fall ist, dass man es mit komplexen Vektoren $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb C^n \end{eqnarray*}$ zu tun hat.

Im reellen Fall sieht die Sache anders aus, hier kommt es auf die Definition von positiv semidefinit an.
1. Fall: Eine quadratische, symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißt positiv semidefinit, falls $\begin{eqnarray*} x^TAx\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist also per definitionem eine positiv semidefinite Matrix auch symmetrisch.
2. Fall: Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißt positiv semidefinit, falls $\begin{eqnarray*} x^TAx\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist. Bei dieser Definition ist z.B. die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit.

Unabhängig von der gewählten Definition ist wegen $\begin{eqnarray*} x^TAx=x^T\left(\frac 1 2 (A+A^T)\right)x \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genau dann positiv semidefinit, wenn es die symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 (A+A^T) \end{eqnarray*}$ ist. Unter diesem Aspekt ergibt es Sinn, die Definition aus dem ersten Fall zu nehmen, weil man die Theorie positiv semidefiniter Matrizen immer auf den Fall symmetrischer Matrizen zurückführen kann.

26.05.2025, 07:33

Studentu

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Achso, danke für die nochmalige Erklärung, URL!
Mich hat irritiert, dass reelle Matrizen ja eigentlich eine Teilmenge der komplexen Matrizen sind und somit alles, was für komplexe Matrizen gilt, auch für reelle gelten muss. Daraus würde folgen, dass jede positiv semidefinite reelle Matrix auch hermitesch, also symmetrisch, ist.

Aber im "reellen Fall", also wenn nicht bloß die Matrix A reell ist, wir uns aber im Komplexen aufhalten, sondern wir uns ganz im Reellen aufhalten und die Vektoren für die Definition positiver Semidefinitheit aus dem Reellen nehmen, ist das natürlich was anderes, weil wir mit einer anderen Definition arbeiten.

Also dann ist mir das soweit klar, danke für deine Hilfe!

26.05.2025, 11:13

HAL 9000

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Zitat:

Für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{C}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} \bar{z}^T A z\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hermitesch, d.h. es gilt $\begin{eqnarray*} A = \bar{A}^T \end{eqnarray*}$

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} A=\left(a_{jk}\right)_{j,k=1,\ldots,n} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ der Einheitsvektor in Komponente $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} e_j^T A e_k = a_{jk} \end{eqnarray*}$ .

Wählen wir nun $\begin{eqnarray*} z = e_j + u e_k \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \bar{z}^T A z = a_{jj} + \bar{u}u a_{kk} + u a_{jk} + \bar{u} a_{kj}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Laut Voraussetzung muss diese Zahl reell sein für alle komplexen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Speziell $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} a_{jj}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (und damit natürlich auch $\begin{eqnarray*} a_{kk}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ). Aus (*) - nun wieder für allgemeine $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ - folgt dann unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \bar{z}^T A z = r + \bar{u} \left(a_{kj}-\overline{a_{jk}}\right) \end{eqnarray*}$

mit der garantiert reellen Zahl $\begin{eqnarray*} r = a_{jj} + |u|^2 a_{kk} + u a_{jk} + \overline{u a_{jk}} \end{eqnarray*}$ . Damit muss auch $\begin{eqnarray*} \bar{u} \left(a_{kj}-\overline{a_{jk}}\right) \end{eqnarray*}$ stets reell sein. Speziell für $\begin{eqnarray*} u = i\left(a_{kj}-\overline{a_{jk}}\right) \end{eqnarray*}$ hat dieser Term aber den rein imaginären Wert $\begin{eqnarray*} -i\left|a_{kj}-\overline{a_{jk}}\right|^2 \end{eqnarray*}$ , der nur dann reell ist wenn er gleich Null ist, d.h. $\begin{eqnarray*} a_{kj} = \overline{a_{jk}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Über alle $\begin{eqnarray*} j,k \end{eqnarray*}$ betrachtet ist das die Hermite-Eigenschaft der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

26.05.2025, 16:52

IfindU (als Gast)

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Kleine Modifikation zu HAL: Jede reelle Zahl ist identisch zu ihrem komplexen konjugierten sowie ihrer Transponierten.

D.h. $\begin{eqnarray*} \overline z^T A z = (\overline z^T A z)^H = \overline z^T A^H z \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} \overline z^T (A-A^H) z = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sollte es reichen die Testfunktionen von HAL einzusetzen, damit man daraus $\begin{eqnarray*} A-A^H \end{eqnarray*}$ folgern kann.

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