Volumen eines Körper mit vier gleichförmigen konkaven Seitenflächen

25.05.2025, 22:40

lenisjdkfs

Volumen eines Körper mit vier gleichförmigen konkaven Seitenflächen

Meine Frage:
Der dreidimensionale Körper hat vier Seitenflächen, welche alle gleichförmig konkav sind. Die Grundfläche ist größer als die Dachfläche. Ohne die Konkaven könnte man es also als einen Pyramidenstumpf bezeichnen.

Ich würde mich über Lösungsansätze freuen, welche das Volumen des Körpers mit Integralrechung berechnen.
Herzliche Grüße

Meine Ideen:
Ich habe an Doppelintegrale oder Mehrfachintegrale gedacht, jedoch bereiten die konkaven Seitenflächen Probleme.

25.05.2025, 23:15

Leopold

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Ohne daß man die Art, wie sich die Seitenflächen krümmen, kennt, kann man das Volumen nicht berechnen.

Hier einmal ein Beispiel für einen Kübel:

[attach]58278[/attach]

Die Schnittflächen senkrecht zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse (die hier ein wenig ungewöhnlich nach unten zeigt) sind Quadrate. Kennt man zum Niveau $\begin{align*} x \end{align*}$ die Quadratfläche $\begin{align*} A(x) \end{align*}$ , so erhält man das Volumen durch Integration:

$\begin{align*} V = \int_{x_1}^{x_2} A(x) ~ \dd x \end{align*}$

Im Beispiel ist die Kantenlänge des Quadrats beim Niveau $\begin{align*} x \end{align*}$ durch $\begin{align*} a(x) = \frac{3}{x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x \in \left[ 1{,}5 ; 3 \right] \end{align*}$ gegeben ( $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} a(x) \end{align*}$ sind in dm angegeben). Du kannst einmal für den Kübel aus dem Bild bestimmen, wie viele Liter hineinpassen.

Aber das ist nur ein Beispiel. Du mußt schon wissen, wie die Wände gekrümmt sind. Für ein anderes $\begin{align*} a(x) \end{align*}$ erhältst du auch ein anderes Volumen.

26.05.2025, 08:30

Conny_1729

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RE: Wie kann ich das Volumen eines Körper mit vier gleichförmigen konkaven Seitenflächen berechnen?

Zitat:

Original von lenisjdkfs
Meine Frage:
Der dreidimensionale Körper hat vier Seitenflächen, welche alle gleichförmig konkav sind. ...

Die Begrifflichkeit für „gleichförmig“ konkav ist an dieser Stelle noch offen bzw. noch nicht klar definiert. Wenn man darunter verstehen soll, dass evtl. der Krümmungsradius konstant sein muss, dann gäbe es z.B. folgendes Rezept, um das Volumen zu berechnen.

1. Die „Stärke“ der konkaven Form könnte durch die Segmenthöhe h eines Kreissegments ausgedrückt werden. (entsprechendes Formelwerk findet man unter Wikipedia „Kreissegment“ oder „Sagitta-Methode“)
2. Berechnung des Radius r
3. Berechnung des Kreismittelpunktes
4. Aufstellen der Kreisgleichung
5. Berechnung des Integrals (numerisch)

Gruß Conny

26.05.2025, 10:22

lenisjdkfs

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Vielen Dank für die beiden Lösungsansätze!

Wenn sich die Krümmung aller Seiten an der Parabel a(x)=0,04*x^2-3,14x+62,28 orientiert und ich unten eine Quadratfläche (Grundfläche) von 12x12 LE habe, lässt sich damit dann das Volumenintegral in den Grenzen [0;17] berechnen?

26.05.2025, 10:52

Leopold

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Zitat:

Original von lenisjdkfs
Wenn sich die Krümmung aller Seiten an der Parabel a(x)=0,04*x^2-3,14x+62,28 orientiert und ich unten eine Quadratfläche (Grundfläche) von 12x12 LE habe, lässt sich damit dann das Volumenintegral in den Grenzen [0;17] berechnen?

Was soll das bedeuten? Ist $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ unten und $\begin{align*} x=17 \end{align*}$ oben? Ist dein $\begin{align*} a(x) \end{align*}$ die Quadratkante beim Niveau $\begin{align*} x \end{align*}$ oder nur die halbe Quadratkante? Oder wieder etwas anderes? Ist vielleicht sogar die y-Achse statt der x-Achse die Achse, die durch die Körpermitte verläuft? Ich bekomme das mit deinen 12×12 LE² nicht zusammen. Du mußt schon genauer beschreiben, was du meinst.

26.05.2025, 14:22

lenisjdkfs

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Die x-Achse verläuft durch die Körpermitte. 0 ist unten und 17 ist oben. A(x) ist die Quadratkante beim Niveau x. Die 12x12 LE scheinen irrelevant zu sein.

26.05.2025, 14:42

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Also ist das der Querschnitt einer Kübelhälfte?

Diese Fläche lässt sich berechnen. Und der Rest sollte ebenfalls zu schaffen sein.

Viele Grüße
Steffen

26.05.2025, 15:51

lenisdkjfs

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Danke für alle Antworten!

Ja genau, dies ist der Querschnitt.
Nun erschließt sich mir nicht, wie ich das Volumen des Körpers berechne, wenn alle Seiten diese Krümmung haben. Liebe Grüße

26.05.2025, 17:24

Leopold

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@ Steffen Bühler
Durch die verschiedenen Einheiten auf den Achsen vermittelt die Graphik einen falschen Eindruck.

Ich habe den Ansatz aufgeschrieben, wie ich die Aufgabe verstanden habe:

[attach]58282[/attach]

26.05.2025, 18:35

Conny_1729

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Da ja nun der Weg zum Integral deutlich beschrieben wurde, hätte ich noch eine überschlägige Kontrollrechnung anzubieten.
Bezüglich einer konstant gekrümmten Kurve, welche die konkave Form bildet, könnte das Volumen näherungsweise auch so berechnet werden: (siehe auch Skizze)
$\begin{eqnarray*} \\&& V\approx \frac{4}{3}\left[h\cdot (a^2+b^2+a\cdot b) -2\cdot \left(a+b\right)\cdot c\cdot s \right] \\&& s=\sqrt{h^2+(b-a)^2} \\&& \text{mit:} \\&& \frac{c}{s}\leq \frac{1}{20} \\&& \frac{h}{b}\leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Der Kreisradius r wird hier aber indirekt durch die Kreissegmenthöhe c als Parameter beschrieben, weil ...
$\begin{eqnarray*} r=\frac{4c^2+s^2}{8c} \end{eqnarray*}$

Der relative Fehler vom Volumen sollte dann i.d.R. unter 1% liegen. Immerhin muss man dann kein Integral berechnen, wenn sich die Abmessungen in einem gewissen Rahmen bewegen. Ich denke da auch an den Praxisbezug, falls es sich hierbei um eine 4-teilige Blechabwicklung handeln sollte, die als „Trichter“ verlötet oder zusammengeschweißt wird. In der Realität reicht dann meist eine Überschlagsformel aus. In der Theorie sollte jedoch genau gerechnet werden, um schließlich auch etwas Übung und Sicherheit in der Integralrechnung zu bekommen. Augenzwinkern

Gruß Conny
.

27.05.2025, 13:38

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729
...
$\begin{eqnarray*} \\&& \text{mit:} \\&& \frac{c}{s}\leq \frac{1}{20} \\&& \frac{h}{b}\leq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
...

Der relative Fehler vom Volumen sollte dann i.d.R. unter 1% liegen. ...

Auch wenn zu diesem Themenpunkt wahrscheinlich kein weiteres Feedback mehr zu erwarten ist, möchte ich zumindest den Aspekt der "Überschlagsformel" noch soweit abrunden, dass das Verhältnis der Kantenlängen (unten/oben) natürlich ebenfalls innerhalb bestimmter Grenzen liegen sollte.
$\begin{eqnarray*} \\&& \frac{b}{a} \leq 4 \\&& b\geq a \end{eqnarray*}$

Gruß Conny

27.05.2025, 19:23

Leopold

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@ Conny_1729

Ich würde deine Formel gerne einmal ausprobieren. Ich verstehe Folgendes:

$\begin{align*} h=17 \, , \ \ a=f(17) \, , \ \ b=f(0) \, , \ \ s = \sqrt{h^2+(a-b)^2} \end{align*}$

Nur die Bedeutung von $\begin{align*} c \end{align*}$ ist mir nicht klar.

Mit dem von mir vorgeschlagenen Weg bekomme ich $\begin{align*} V = 115754 \end{align*}$ .

27.05.2025, 19:57

Conny_1729

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Hallo Leopold,
vorrangig ist die Überschlagsformel für konkave Seitenflächen gedacht, die durch einen Radius r gebildet werden. Die kleine Abstand c entspricht dann der Kreissegmenthöhe „h“ in der folgenden Skizze:

Kreissegment

Sofern man den Radius r kennt, hat man auch c.
$\begin{eqnarray*} c=r-\sqrt{r^2-\frac{s^2}{4} } \end{eqnarray*}$

Im Fall der Parabel, müsste man jedoch erst den Abstand c zu der Sehne s berechnen. D.h., die Sehne s wird parallel verschoben, bis sie tangential an der Parabel anliegt. Dieser Abstand der Parallelen ist dann c.

Natürlich kommt es nun auf die „gleichförmige“ Form der Parabel an, wie nah die Überschlagsformel an das wahre Ergebnis herankommt, weil sie eigentlich für eine Radiusform gelten würde.

Gruß Conny

27.05.2025, 20:39

Leopold

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Ich habe einmal Folgendes gemacht:

Die Endpunkte des Parabelstücks sind $\begin{align*} P = \left( 0 , f(0) \right) \end{align*}$ und $\begin{align*} Q = \left( 17 , f(17) \right) \end{align*}$ . Nun habe ich einen weiteren Punkt $\begin{align*} R = \left( t, f(t) \right) \end{align*}$ auf dem Parabelstück gewählt und mit Euklid den Kreis durch $\begin{align*} P,Q,R \end{align*}$ konstruiert. Dann habe ich $\begin{align*} R \end{align*}$ hin und her geschoben, bis sich der Kreisbogen dem Parabelstück nach Augenmaß am besten angepaßt hat. Ich kam dann auf etwa $\begin{align*} t=9 \end{align*}$ . Das ist natürlich ein gruseliges Verfahren, denn die Zeichenungenauigkeit des Geometrie-Programms liegt vermutlich außerhalb dessen, was ich hinterher mit meinem Augenmaß als die beste Lösung angesehen habe. Dem allem gegenüber ignorant ergab sich mit Euklid ein Kreisradius von $\begin{align*} r = 228 \end{align*}$ , somit $\begin{align*} c = 1{,}12 \end{align*}$ . Deine Formel liefert dann

$\begin{align*} V = 115135 \end{align*}$

[attach]58284[/attach]

Ich habe einmal die Euklid-Datei in den Anhang gestellt. Euklid kann man hier herunterladen: https://www.dynageo.de/

Da der Entwickler verstorben ist, wird die Seite nicht mehr gepflegt. Der gelbe Download-Button funktioniert aber noch. Man lädt das zip-Archiv herunter und entpackt es. Dann kann man Euklid (dynageo.exe) schon starten.

28.05.2025, 07:46

Conny_1729

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Da hat der/die Fragesteller/in ein gutes Händchen bei der Parabel bewiesen, was die Gleichförmigkeit betrifft, wenn die Näherungsformel so nah herankommt. Ich habe nun ebenfalls mal eine Volumenerzeugung (mit Radius!) erzeugt, wobei ich den c-Wert gemäß der "verschobenen Sehne s in den Tangentenpunkt" ermittelt habe.

c = 1.08831 (bei Radius 234.61)
V = 115450,9 (Näherungsformel verwendet)

Das CAD-System berechnet mir dann ein reales Volumen:

V_cad = 115489 (bei Radius 234.61)

=> rel. Fehler = - 0.000329

Mit Sicherheit könnte man sich auch eine passable Näherungsformel für einen Parabel-Ast basteln, je nach Grad der Gleichung. Da aber Polynome gut und einfach integriert werden können, kann man sich die Mühe auch sparen. Wäre aber auch eine schöne Übung ...

Gruß Conny

29.05.2025, 15:57

Conny_1729

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Zitat:

Original von Conny_1729
Da hat der/die Fragesteller/in ein gutes Händchen bei der Parabel bewiesen, was die Gleichförmigkeit betrifft, wenn die Näherungsformel so nah herankommt. Ich habe nun ebenfalls mal eine Volumenerzeugung (mit Radius!) erzeugt, wobei ich den c-Wert gemäß der "verschobenen Sehne s in den Tangentenpunkt" ermittelt habe.

c = 1.08831 (bei Radius 234.61)
V = 115450,9 (Näherungsformel verwendet)

Ich stelle gerade fest, dieses Ergebnis hätte man in einfacher Weise auch direkt als Näherung berechnen können, wenn man z.B. einen Hilfs-Funktionswert der Parabel in der Mitte bei x=h/2 gewählt hätte.
$\begin{eqnarray*} V \approx \frac{4}{3}\cdot h\cdot \left(2\cdot \left(a+b\right)\cdot f(h/2)-a\cdot b \right) \end{eqnarray*}$

Gruß Conny

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