Harmonisches Mittel

28.05.2025, 16:18

kokos

Harmonisches Mittel

Meine Frage:
Hallo

Ich habe folgende Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}= \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+y} \end{eqnarray*}$
und mit der Bedingung
$\begin{eqnarray*} y<<x \end{eqnarray*}$
soll das rauskommen
$\begin{eqnarray*} z \approx x+\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$
Vielleicht kann mir jemand zeigen wie das geht
Danke im voraus

Meine Ideen:
Ich habe umgeformt
$\begin{eqnarray*} z=\frac{2x^2+2xy}{2x+y} \end{eqnarray*}$
Aber weiter weiß ich nicht

28.05.2025, 16:46

Helferlein

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Du bist fast am Ziel. Spalte den Nenner im Zähler ab und schätze den Rest mit y/2 ab (Warum ist das zulässig?)

28.05.2025, 17:23

kokos

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Ich habe jetzt umgeformt

$\begin{eqnarray*} z=x+\frac{y}{2+\frac{y}{x} } \end{eqnarray*}$

y/x kann man vernachlässigen und dann müsste es hinkommen

Vielen Dank

28.05.2025, 17:26

adiutor62

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Was bedeutet << ?
Was hat die Ungleichung mit dem harmonischen Mittel zu tun?

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisches_Mittel

28.05.2025, 17:36

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von adiutor62
Was bedeutet << ?

Viel kleiner als.

Zitat:

Original von adiutor62
Was hat die Ungleichung mit dem harmonischen Mittel zu tun?

$\begin{eqnarray*} \bar{x}_\text{harm} = \frac{2}{\tfrac1a + \tfrac1b} \to \frac{2} {\bar{x}_\text{harm}} = {\tfrac1a + \tfrac1b} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist hier das harmonische Mittel aus $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ .

28.05.2025, 18:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von kokos
und mit der Bedingung
$\begin{eqnarray*} y\ll x \end{eqnarray*}$
soll das rauskommen
$\begin{eqnarray*} z \approx x+\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$

Was auch nicht weiter verwundert, da dieser Term das arithmetische Mittel der beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ ist. Ich hätte die Bedingung aber eher als $\begin{eqnarray*} |y|\ll |x| \end{eqnarray*}$ formuliert, denn zumindest bei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind (betragskleine) negative Zahlen hier ja durchaus auch sinnvoll in der Anwendung.

Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und wiederum $\begin{eqnarray*} |y|\ll x \end{eqnarray*}$ ergibt sich auch für das geometrische Mittel in erster Näherung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x(x+y)} = \sqrt{\left(x+\frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}}\approx x+\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ .

29.05.2025, 10:54

adiutor62

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Danke für die Erklärung, Steffen.
Schönen Vatertag!
Vlt. ist es der letzte,er könnte abgeschafft werden zur Förderung der Wirtschaft.

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