Beweis zu konvergenter Folge

03.06.2025, 04:21

Pippen

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Beweis zu konvergenter Folge

Ich habe zu folgendem Beweis mehrdeutige Rückmeldungen bekommen. Manche sagen, es ist ok, andere sagen es ist nicht ok, ich müsse zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ für x und y einführen und dann das Maximum davon und dann weiter. Was stimmt eurer Meinung nach? Ich stehe (noch) auf dem Standpunkt, das funktioniert einwandfrei auch in meiner Version, aber ich bin unsicher geworden. Ich will das Ding nicht in einer Zeitschrift publizieren, d.h. Perfektion braucht es nicht sein, aber ich will auch keinen unvollständigen Beweis aufschreiben.

Satz: Konvergente Folgen haben immer nur genau einen Grenzwert, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = y \to x = y \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Denn nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergent gegen x, d.h. für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in U_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ . Analog gilt das für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ , so lassen sich für beide zwei disjunkte $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ -Umgebungen angeben, $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(x) \cap U_{\varepsilon'}(y) = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Dann existiert ab einem $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'} (x) \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'} (y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ , im Widerspruch zur Konvergenz der Folge auf $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , also x = y.

03.06.2025, 12:09

Finn_

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Pedantisch gesehen bekommt man aus der Konvergenz erst einmal nur das Folgende heraus: Die Konvergenz $\begin{eqnarray*} x_n\to x \end{eqnarray*}$ verschafft uns für $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_1, \end{eqnarray*}$ ab dem sich alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(x) \end{eqnarray*}$ befinden. Die Konvergenz $\begin{eqnarray*} x_n\to y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ entsprechend ein $\begin{eqnarray*} n_2, \end{eqnarray*}$ ab dem sich alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(y) \end{eqnarray*}$ befinden.

Was würden wir nun gern haben? Ein $\begin{eqnarray*} x_n, \end{eqnarray*}$ welches sich in beiden der disjunkten Umgebungen befindet, was absurd ist. Wie schaffen wir so eines herbei? Natürlich mit $\begin{eqnarray*} n:=\max(n_1,n_2), \end{eqnarray*}$ denn dann gilt sowohl $\begin{eqnarray*} n\ge n_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} n\ge n_2. \end{eqnarray*}$

03.06.2025, 12:45

HAL 9000

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Zu einem sauberen Beweis, bzw. eher sauberer Satzformulierung gehört auch, welche Voraussetzung man an den zugrunde liegenden topologischen Raum stellt:

In allgemeinen topologischen Räumen gilt der Satz nämlich nicht, in einem Hausdorff-Raum allerdings schon.

03.06.2025, 15:27

Finn_

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Falls meine Fassung noch zu vage erscheint:

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Require Import Reals.Reals.
Require Import Classical.
Open Scope R_scope.

Definition metric_space (X: Type) (d: X -> X -> R) :=
  (forall x y: X, d x y = 0 <-> x = y) /\
  (forall x y: X, d x y = d y x) /\
  (forall x y z: X, d x y <= d x z + d z y).

Parameter X: Type.
Parameter d: X -> X -> R.
Axiom hmsXd: metric_space X d.

Definition converges (xs: nat -> X) (x: X) :=
  forall eps: R, 0 < eps -> exists n0: nat,
    forall n: nat, Nat.le n0 n -> d (xs n) x < eps.

Theorem disjoint_epsilon_balls_exist (x y: X):
  x <> y -> exists eps: R, 0 < eps /\
    forall z: X, ~(d z x < eps /\ d z y < eps).
Admitted.

Theorem limit_unique (x y: X) (xs: nat -> X):
  converges xs x /\ converges xs y -> x = y.
Proof.
  intros (hx, hy). apply NNPP. intro h.
  destruct (disjoint_epsilon_balls_exist x y h)
    as (eps, (heps, hballs)).
  destruct (hx eps heps) as (n1, hn1). clear hx.
  destruct (hy eps heps) as (n2, hn2). clear hy.
  pose (n := Nat.max n1 n2).
  assert (h1 := hn1 n (Nat.le_max_l n1 n2)).
  assert (h2 := hn2 n (Nat.le_max_r n1 n2)).
  exact (hballs (xs n) (conj h1 h2)).
Qed.

03.06.2025, 15:35

HAL 9000

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Ja klar, $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ deutet auf einen Metrischen Raum hin, der natürlich Hausdorff-Raum ist. Allerdings lese ich im Satz selbst nichts von Metrischer Raum (nur im Beweis indirekt über jenes $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ ), deswegen ja mein Einwurf.

04.06.2025, 02:50

Pippen

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@Finn: Meinst du es so wie unten? Ist der Beweis i.O. und ich kann ihn in meine Notizen übernehmen?

@Hal9000: Deiser sagt davon (in seinem Mengenlehrebuch) nichts. Er definiert nur den Grenzwert für Folgen und gibt bekannt, dass es immer nur einen geben kann, was ich zum Anlass nahm, mir das zu beweisen. Auch in dem Standardbeweis, der die sog. Dreiecksungleichung nützt und mE viel sperriger und formalkramiger wirkt als meiner, kommt das nie zur Sprache. Der Hausdorff-Raum scheint demnach der übliche Raum zu sein, den man im Zweifel zugrundelegt?

Satz: Konvergente Folgen haben immer nur genau einen Grenzwert, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = y \to x = y \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Denn nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergent gegen x, d.h. für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in U_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ . Analog gilt das für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ , so lassen sich für beide zwei disjunkte $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ -Umgebungen angeben, $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(x) \cap U_{\varepsilon'}(y) = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Da die Folge sowohl gegen x als auch y konvergiert, ergibt sich aus o.g. Definition für $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ , dass ab einem $\begin{eqnarray*} n_{0(\varepsilon', x)} \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'}(x) \end{eqnarray*}$ und dass ab einem $\begin{eqnarray*} n_{0(\varepsilon', y)} \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'}(y) \end{eqnarray*}$ . Wir wählen $\begin{eqnarray*} n_{0(\varepsilon', x,y)} = max(n_{0(\varepsilon', x)}, n_{0(\varepsilon', y)}) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt, dass ab einem $\begin{eqnarray*} n_{0(\varepsilon', x,y}) \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'}(x) \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'}(y) \end{eqnarray*}$ sind. Wegen o.g. $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(x) \cap U_{\varepsilon'}(y) = \emptyset \end{eqnarray*}$ bleibt aber für alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ab $\begin{eqnarray*} n_{0(\varepsilon', x,y)} \end{eqnarray*}$ eine der beiden Umgebungen leer, im Widerspruch zu eben Gesagtem, also x = y.

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04.06.2025, 07:32

HAL 9000

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Ich rede davon, dass der Grenzwert
begriff bereits in allgemeinen topologischen Räumen existiert, dort der Grenzwert aber keineswegs eindeutig sein muss.

Wenn du dich also auf metrische Räume beschränkst (wie deine Verwendung der Symbolik $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ im Beweis vermuten lässt - sowas gibt es in allgemeinen topologischen Räumen nämlich gar nicht), dann solltest du das in die Satzformulierung als Voraussetzung einbinden - ansonsten kann man (wie ich es getan habe) von allgemeinen topologischen Räumen ausgehen, wo weder die Behauptung noch dein Beweis richtig ist.

Richtig ist die Behauptung auch bereits in Hausdorff-Räumen (was noch etwas allgemeiner ist als Metrischer Raum), dort gibt es aber ebenfalls noch keine $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ , so dass dort der Beweis angepasst werden müsste.

04.06.2025, 09:24

URL

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Wenn du disjunkte Umgebungen hast, brauchst du das Maximum nicht. Aus $\begin{eqnarray*} x_n \in U_{\varepsilon'}(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ folgt schlichtweg, dass in der dazu disjunkten Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(y) \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Folgenglieder sein können.

04.06.2025, 14:51

IfindU (Gast)

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Deiser hat Mengenlehre frei verfügbar. Was du unterschlagen hast, ist, das es zwei reellen Zahlen sind. Und die reellen Zahlen bilden eben einen metrischen Raum, wie HAL sagt.

Für Deiser ist auch einfach $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(a) = ] a-\epsilon, a+\epsilon[ \end{eqnarray*}$ . Er macht keinen direkten Verweis auf die Metrik (an der Stelle wenigstens) aber das sind genau die reellen Zahlen welche bzgl. der Standardmetrik weniger als Epsilon entfernt sind.

04.06.2025, 15:22

HAL 9000

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Da Pippen sonst immer in höheren logischen sowie philosophischen Sphären schwebt ist mir im Traum nicht eingefallen, dass er hier nur schnöde reelle Zahlen meinen könnte. Big Laugh

Big Laugh

05.06.2025, 02:24

Pippen

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Also habe ich unwissend alles richtig gemacht, weil durch Deisers Definition der Epsilon-Umgebung gleichzeitig klar ist, dass wir nur über metrische Räume sprechen? Kann man das so sagen?

05.06.2025, 07:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Also habe ich unwissend alles richtig gemacht

Nein, du hast nicht alles richtig gemacht: Du hast nicht im Satz genannt, dass du nur metrische Räume betrachtest. Woher soll ein Leser hier ahnen, was im Vorfeld des Satzes alles an Voraussetzungen genannt wird?

Du bist sonst immer so ein Logik-Fanatiker, dann wende das doch auch hier an.

06.06.2025, 02:08

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Pippen
Also habe ich unwissend alles richtig gemacht

Nein, du hast nicht alles richtig gemacht: Du hast nicht im Satz genannt, dass du nur metrische Räume betrachtest. Woher soll ein Leser hier ahnen, was im Vorfeld des Satzes alles an Voraussetzungen genannt wird?

Du bist sonst immer so ein Logik-Fanatiker, dann wende das doch auch hier an.

Naja, ich schreibe den Beweis im Rahmen von Deisers Mengenlehre und da geht es gerade um die Ordnung der reellen Zahlen. ifindu schreibt zu recht - und du gibst ihm recht - dass sich die Tatsache einer Metrik hier dadurch ergibt, dass die Epsilon-Umgebung mit reellen Zahlen operiert, womit sofort ein metrischer Raum gegeben ist. Dein metrischer Raum ergibt sich damit trivial und implizit. Es ist doch klar, dass sich diese Ergebnisse für Räume mit zB natürlichen oder rationalen Zahlen nicht erzielen lassen.

06.06.2025, 10:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Naja, ich schreibe den Beweis im Rahmen von Deisers Mengenlehre und da geht es gerade um die Ordnung der reellen Zahlen.

Und wer soll das ahnen, der nur deinen Eröffnungsbeitrag liest? Da steht kein Hinweis, dass es um reelle Zahlen geht.

Zitat:

Original von Pippen
Es ist doch klar, dass sich diese Ergebnisse für Räume mit zB natürlichen oder rationalen Zahlen nicht erzielen lassen.

Seltsamer Ablenkungsversuch - um das ging es ja nun in meiner Anmerkung in keinster Weise. unglücklich

unglücklich

06.06.2025, 11:10

Elvis

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Der Beweis funktioniert für alle reellen Zahlen und reelle Folgen, also insbesondere für rationale und natürliche Folgen. Natürliche und rationale Zahlen sind bekanntlich ein Teil der reellen Zahlen. Warum sollte ein Beweis, der für alle reellen Zahlen gilt, für einen Teil der reellen Zahlen nicht gelten ? verwirrt

verwirrt

07.06.2025, 10:53

IfindU

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Zitat:

Original von Pippen
Satz: Konvergente Folgen haben immer nur genau einen Grenzwert, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = y \to x = y \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Denn nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergent gegen x, d.h. für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in U_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ . Analog gilt das für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ , so lassen sich für beide zwei disjunkte $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ -Umgebungen angeben, $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon'}(x) \cap U_{\varepsilon'}(y) = \emptyset \end{eqnarray*}$ . [...]

Genau der letzte Satz ist ungenau, bzw. unerklärt. Warum gibt es diese disjunkten Umgebungen? Das ist nämlich genau die Hausdorff-Eigenschaft, welche HAL meinte. Wenn du nicht weiß, dass die reellen Zahlen (mit der Topologie) eine Hausdorff-Raum bilden, musst du hier erklären warum im Falle von Deisers Definition der Umgebungen, es diese disjunkten Umgebungen gibt.

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