Vektoren Spiegelbild

29.06.2025, 11:39

punktlandung3

Vektoren Spiegelbild

Meine Frage:
Hallo,

Spiegelungen oder Seitentausche sind ein produktives Mittel, aber gelegentlich wird es sehr umständlich damit.
Ich wollte einmal eine Spiegelung in Vektornotation sauber ausgeführt haben um dann zu sehen, in wie weit das brauchbar ist.

Meine Ideen:
Ausgehend von einem Punkt A, dessen Ursprungsvektor auch die Spiegelgerade sein soll, wird die Spiegelung des Punktes B gesucht.

$\begin{eqnarray*} P_{0}(0;0), P_{A}(x_{A};y_{A}), P_{B}(x_{B};y_{B}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{A} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} x_{A} \\ y_{A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{B} =\begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} x_{L} \\ y_{L} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für die Senkrechte wird außerdem $\begin{eqnarray*} \vec{B_0}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} x_{B_0} \\ y_{B_0} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verwendet.

$\begin{eqnarray*} \vec{A} *\vec{B} =0 \Rightarrow rx_{A} *sx_{B_0} +ry_{A} *sy_{B_0} =0 \end{eqnarray*}$
r und s werden gleich 1 gesetzt.

wodurch
$\begin{eqnarray*} \vec{B} = \begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} x_{L} \\ -x_{L}\frac{x_{A}}{y_{A}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Nun sollen

$\begin{eqnarray*} \vec{A} =\vec{B} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} x_{A} \\ y_{A} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} x_{L} \\ -x_{L}\frac{x_{A} }{y_{A} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Dann muss aber offensichtlich das $\begin{eqnarray*} s*x_{L} \end{eqnarray*}$ zusammen gelassen werden und es folgt

$\begin{eqnarray*} r= ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s*x_{L} = rx_{A} -x_{B} = \frac{x_{A} y_{B} +\frac{x_{A}^{2} x_{B} }{y_{A} } -x_{B} y_{A} -\frac{x_{B} x_{A} ^{2}} {y_{A} } }{y_{A} + \frac{x_{A} ^{2}}{y_{A} } } \end{eqnarray*}$ .

Den Faktor s und die x-Variable zusammen zu lassen scheint mir aber etwas verwurschtelt zu sein?? Wie begründe ich das sauber, ohne Worte das eine oder andere davon weg zu lassen? Außerdem gibt es sicher noch Abkürzungen über den Pythagoras oder andere, vielleicht auch stabilere Rechenwege?

Viele Grüße einen schönen Sonntag smile

29.06.2025, 19:47

Leopold

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Für zweidimensionale Vektoren in Spaltenschreibweise verwende ich kleine lateinische, für Skalare griechische Buchstaben. Abbildungen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Bei Objekten der Elementargeometrie folge ich der Tradition: Großbuchstaben für Punkte, Kleinbuchstaben für Geraden.

Für einen Vektor $\begin{align*} x = \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix} \end{align*}$ sei $\begin{align*} x' = \begin{pmatrix} \xi_1 & \xi_2 \end{pmatrix} \end{align*}$ und $\begin{align*} x^{\bot} = \begin{pmatrix} -\xi_2 \\ \xi_1 \end{pmatrix} \end{align*}$ .
Es ist also $\begin{align*} x' \end{align*}$ der transponierte Vektor von $\begin{align*} x \end{align*}$ , ein Zeilenvektor, und $\begin{align*} x^{\bot} \end{align*}$ der Vektor, der bei üblicher Orientierung des Koordinatensystems aus $\begin{align*} x \end{align*}$ durch Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn entsteht.

Die Gleichung $\begin{align*} g_1: \ x = a + \lambda u \end{align*}$ beschreibt eine Gerade, wenn $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ die reellen Zahlen durchläuft. Hierbei ist $\begin{align*} a \end{align*}$ der Ortsvektor eines fest gewählten Punktes $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} u \neq 0 \end{align*}$ der Richtungsvektor der Geraden. Die Vektoren $\begin{align*} x \end{align*}$ sind als Ortsvektoren von Punkten $\begin{align*} X \end{align*}$ aufzufassen, die die Gerade bilden. Die Gerade $\begin{align*} g_2: \ x = \lambda u \end{align*}$ ist die Ursprungsgerade, die parallel zu $\begin{align*} g_1 \end{align*}$ verläuft. Sind $\begin{align*} S_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} S_2 \end{align*}$ die Spiegelungen an diesen Geraden, so gilt:

$\begin{align*} S_1(x) = S_2(x-a) + a \end{align*}$

Es genügt daher, daß man sich auf Spiegelungen an Ursprungsgeraden beschränkt. Sei nun

$\begin{align*} g: \ x = \lambda u \ \ \mbox{mit} \ \ |u|=1 \end{align*}$

eine solche Ursprungsgerade. Die Normierung des Richtungsvektors gibt den folgenden Formeln eine kompaktere Gestalt. Die Gleichung

$\begin{align*} y = S(x) = 2uu'x - x \end{align*}$

beschreibt die Spiegelung an $\begin{align*} g \end{align*}$ (was ich weiter unten gleich nachweisen werde). Die auftretenden Multiplikationen der Vektoren sind als Matrizenmultiplikationen zu verstehen. Offenbar ist $\begin{align*} S \end{align*}$ eine lineare Abbildung. Je nachdem, wie man klammert, kann man das verschieden interpretieren:

$\begin{align*} T = 2uu' \end{align*}$ ist eine 2×2-Matrix. Ist $\begin{align*} E \end{align*}$ die zweireihige Einheitsmatrix, so kann man die Abbildung auch so schreiben:

$\begin{align*} y = S(x) = (T-E)x \end{align*}$

Und schließlich ist $\begin{align*} u'x \end{align*}$ ein Skalar. Dieses Matrizenprodukt entspricht dem Skalarprodukt der Vektoren $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Nun zum Nachweis, daß $\begin{align*} S \end{align*}$ die Spiegelung an $\begin{align*} g \end{align*}$ beschreibt.
Da $\begin{align*} u,u^{\bot} \end{align*}$ eine Basis des Vektorraums ist, kann jeder Vektor $\begin{align*} x \end{align*}$ als Linearkombination bezüglich dieser Vektoren geschrieben werden:

$\begin{align*} x = \sigma u + \tau u^{\bot} \end{align*}$

Man rechnet

$\begin{align*} S(x) = S \left( \sigma u + \tau u^{\bot} \right) = \sigma S(u) + \tau S \left( u^{\bot} \right) = \sigma \left( 2u \underbrace{u'u}_1 - u \right) + \tau \left( 2u \underbrace{u'u^{\bot}}_0 - u^{\bot} \right) = \sigma u - \tau u^{\bot} \end{align*}$

Hierbei wurde $\begin{align*} |u|=1 \end{align*}$ und die Skalarprodukteigenschaft der hinteren Multiplikation verwendet. Der Anteil eines Vektors in Richtung $\begin{align*} u \end{align*}$ bleibt also erhalten, während der Anteil in Richtung $\begin{align*} u^{\bot} \end{align*}$ das Vorzeichen ändert. Das kennzeichnet die Spiegelung an $\begin{align*} g \end{align*}$ .

EDIT
Bezeichnungen an Folgebeitrag angepaßt.

29.06.2025, 20:41

Finn_

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Es ist, unter Umständen persönlicher Herangehensweise, zuträglich, etwaiges Rechtwinkligkeitsgewurschtel in die Herleitung der orthogonalen Projektion zu verpacken.

Also die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ verlaufe durch den Punkt $\begin{eqnarray*} A. \end{eqnarray*}$ Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} P_g(B) \end{eqnarray*}$ die orthogonale Projektion des Punktes $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g. \end{eqnarray*}$ Diesbezüglich gilt

$\begin{eqnarray*} P_g(B) = A + P_{\vec u}(B-A), \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} P_{\vec u}(\vec v) \end{eqnarray*}$ die orthogonale Projektion des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ sei. Mit $\begin{eqnarray*} B-A \end{eqnarray*}$ ist der Verbindungsvektor von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gemeint. Und mit $\begin{eqnarray*} A+P_{\vec u}(\vec v) \end{eqnarray*}$ das Resultat der Verschiebung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} P_{\vec u}(\vec v). \end{eqnarray*}$ Die Spiegelung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} g, \end{eqnarray*}$ genannt $\begin{eqnarray*} S_g(B), \end{eqnarray*}$ erhält man daraufhin als das Doppelte der Verschiebung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} P_g(B), \end{eqnarray*}$ also als

$\begin{eqnarray*} S_g(B) = B + 2(P_g(B)-B). \end{eqnarray*}$

Allgemeiner ließe sich die folgende Überlegung aufstellen. Wir betrachten eine riemannsche Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Untermannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gringerer Dimension. Gegeben ist ein Punkt $\begin{eqnarray*} B\in M. \end{eqnarray*}$ Durch jeden Punkt von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ verlaufen Geodäten, die orthogonal auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ stehen. Aus allen diesen Geodäten sondern wir diejenigen aus, die durch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ verlaufen. Nun läuft man auf der jeweiligen Geodäte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus nach $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und daraufhin nochmals dieselbe Weglänge. Die so erhaltene Punktmenge dürfen wir als die Spiegelung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ auffassen.

29.06.2025, 22:35

punktlandung3

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Zitat:

Original von Leopold
Für zweidimensionale Vektoren in Spaltenschreibweise verwende ich kleine lateinische, für Skalare griechische Buchstaben. Abbildungen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Bei Objekten der Elementargeometrie folge ich der Tradition: Großbuchstaben für Punkte, Kleinbuchstaben für Geraden.

Das ist sehr interessant, ich werde das vermerken. Für die Frage auf matheboard.de verwende ich für eine bessere Verständlichkeit Vektoren mit 2 Richtungskoordinaten
und schätze die Konventionen die für diese Fälle üblich sind. Da keine der Antworten meine Frage an bestimmter Stelle aufgreift, werde ich das selbst tun;
die Frage ist also, wie ich den Umstand, als Ergebnis unmittelbar einen Vektor von halber Länge zwischen den Spiegelungen zu erhalten, formal mit dem Skalar und den Koordinaten formulieren/rechtfertigen kann.

und zwar ohne große Worte Big Laugh

ist der Wunsch gewesen.

Ich kann mir vorstellen die Antwort befindet sich dennoch im Beitrag von Leopold und Finn jeweils, ich werde sie sicher noch finden.
Vielen Dank dafür. Bei nächster Gelegenheit werde ich ohne Ausnahme Zahlenbeispiele und die Forderung um eine möglichst kurze schlüssige Herleitung mit anbringen = ]

30.06.2025, 20:18

Leopold

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Es ist bekannt, daß die Vektoren $\begin{align*} x = \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix} \end{align*}$ und $\begin{align*} x^{\bot} = \begin{pmatrix} - \xi_2 \\ \xi_1 \end{pmatrix} \end{align*}$ senkrecht aufeinander stehen. Man kann sich das direkt an einer Zeichnung klarmachen, oder man bildet das Skalarprodukt und rechnet es nach. Der Vorteil dieser Konstruktion ist, daß sich hierbei der Betrag nicht ändert. Und potentielle Divisionen durch 0 wie in deinem Ansatz kommen hier nicht vor.

Etwas Ähnliches machst du in deiner Rechnung nämlich auch. Halten wir zunächst fest, daß, wenn ein Vektor auf einem anderen senkrecht steht, auch jedes Vielfache dieses Vektors das tut. Jetzt multipliziere deinen Vektor $\begin{align*} \begin{pmatrix} x_L \\ -x_L \frac{x_A}{y_A} \end{pmatrix} \end{align*}$ mit dem Skalar $\begin{align*} \mu = - \frac{y_A}{x_L} \end{align*}$ , und schon findest du meinen Ansatz darin wieder.

Ich will mal ein Beispiel geben. Es soll an der Geraden $\begin{align*} g: \ x = \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$ gespiegelt werden. Der Richtungsvektor wird normiert: $\begin{align*} u = \frac{1}{\sqrt{34}} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$

Jetzt kann man direkt in

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} y = S(x) = 2uu'x - x \end{align*}$

gehen:

$\begin{align*} y = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{34}} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{34}} \begin{pmatrix} -3 & 5 \end{pmatrix} \cdot x - x = \underbrace{\frac{1}{17} \begin{pmatrix} 9 & -15 \\ -15 & 25 \end{pmatrix}}_T \cdot x - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot x = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -8 & -15 \\ - 15 & 8 \end{pmatrix} \cdot x \end{align*}$

Und das ist die Abbildungsgleichung für die Spiegelung an $\begin{align*} g \end{align*}$ .

30.06.2025, 21:30

Finn_

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Bei mir geht es so: Wir identifizieren die Punkte mit ihren Koordinatenvektoren, um nicht explizit über Koordinatensysteme reden zu müssen. Wir setzen $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$ insofern eine Ursprungsgerade vorliegen soll. Für die Spiegelung gilt daraufhin

$\begin{eqnarray*} S_g(B) = 2P_g(B)-B = 2P_{\vec u}(B)-B = 2\frac{B\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\vec u-B. \end{eqnarray*}$

Man rechnet unschwer nach, dass $\begin{eqnarray*} S_g \end{eqnarray*}$ nun eine lineare Abbildung ist, da $\begin{eqnarray*} P_{\vec u} \end{eqnarray*}$ eine solche ist. Gesucht ist also die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S_g(B) = SB \end{eqnarray*}$ . Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standardbasis, also

$\begin{eqnarray*} S_g(\vec e_1) = 2\frac{\vec e_1\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\vec u-\vec e_1 = 2\frac{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \frac{1}{17}\begin{pmatrix}-8 \\ -15\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_g(\vec e_2) = 2\frac{\vec e_2\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\vec u-\vec e_2 = 2\frac{\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \frac{1}{17}\begin{pmatrix}-15 \\ 8\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Das macht

$\begin{eqnarray*} S = \frac{1}{17}\begin{pmatrix}-8 & -15\\-15 & 8\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

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