Lineare Unabhängigkeit - Summe der Eigenräume

08.07.2025, 17:30	DentStu	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit - Summe der Eigenräume Hei, Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} \phi \in End(V) \end{eqnarray}$ , dann ist die Summe der Eigenräume direkt. In dem Beweis heißt es: (Vorher wird noch argumentiert, dass die $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind.) Seien $\begin{eqnarray} \lambda_1, ... , \lambda_n \end{eqnarray}$ paarweise verschiedene Eigenwerte zu den Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v_1, ..., v_n \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} z_1 v_1 + ... z_n v_n = 0 \end{eqnarray}$ . Dann soll nun gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} z_i = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i = 1,...,n \end{eqnarray}$ ist. Dazu gibt es zwei Gleichungen deren Herleitung mir nicht ganz klar ist: $\begin{eqnarray} 0 = (\lambda_1 - \phi) \cdot ... \cdot (\lambda_{i-1} - \phi) (\lambda_{i+1} - \phi) \cdot ... \cdot (\lambda_{n} - \phi)(z_1 v_1 + ... + z_n v_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = (\lambda_1 - \lambda_i) \cdot ... \cdot (\lambda_{i-1} - \lambda_i) (\lambda_{i+1} - \lambda_i) \cdot ... \cdot (\lambda_{n} - \lambda_i)(z_i v_i) \end{eqnarray}$ Wie kommt man denn auf diese Gleichungen? Es sieht aus, als hätte man sich sowas wie $\begin{eqnarray} P(\phi) = \prod_{j=1, j \neq i}^n (\lambda_j - \phi) \end{eqnarray}$ definiert, wobei $\begin{eqnarray} P(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n \end{eqnarray}$ (linear) ist. Kann mir Jemand etwas verdeutlichen, wie man auf diesen Ansatz kommt?
09.07.2025, 11:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich drauf käme, irgendwann: Wir haben $\begin{eqnarray} \sum z_i v_i = 0 \end{eqnarray}$ wobei wir Eigenvektoren haben. Dann wenden wir mal $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ an. Da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ linear ist, haben wir $\begin{eqnarray} \sum z_i \phi(v_i) = 0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ Eigenvektoren sind, dann $\begin{eqnarray} \sum z_i \phi(v_i) = \sum z_i \lambda_i v_i = 0 \end{eqnarray}$ . Sobald wir eine nicht-trivale Kombination gefunden haben, finden wir andere Kombinationen. Jetzt kann man die Kombinationen verrechnen und feststellen, dass schon die $\begin{eqnarray} z_i \end{eqnarray}$ alle Null sein mussten. Hier wurde direkt eine Kombination angegeben, mit der man $\begin{eqnarray} z_i = 0 \end{eqnarray}$ bekommt. Wenigstens habe ich mir die genaue Rechnung nicht angeschaut, aber es steckt die Idee dahinter von dem was ich erkenne.
10.07.2025, 01:13	tobit	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo DentStu, der von dir geschilderte Beweis-Ansatz würde ich als geschickten Weg bezeichnen, der zum Ziel führt, nicht als naheliegend. Die erste der beiden Gleichungen sagt ja nur, dass das Bild des Nullvektors $\begin{eqnarray} z_1v_1+\ldots z_nv_n \end{eqnarray}$ unter der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} P(\phi) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(x):=\prod_{j=1,j\neq i}^n(\lambda_j-x) \end{eqnarray}$ wieder der Nullvektor ist. Für die Begründung der zweiten Gleichung benötige ich folgendes Lemma: Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus von V. Seien $\begin{eqnarray} \lambda\in K,v\in V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi(v)=\lambda\cdot v \end{eqnarray}$ (d.h. v ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ oder v ist der Nullvektor von V). Sei P ein Polynom mit Koeffizienten in K. Dann gilt: $\begin{eqnarray} P(\phi)(v)=P(\lambda)\cdot v \end{eqnarray}$ . Vielleicht hattet ihr so etwas in der Vorlesung? Ansonsten muss man die Gültigkeit des Lemmas nachrechnen. Zurück zur Herleitung der zweiten Gleichung: Unter Berücksichtigung der Wahl von P gilt für alle $\begin{eqnarray} k=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\neq i \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} P(x)=(\prod_{j=1,j\neq i,k}^n(\lambda_j-x))\cdot(\lambda_k-x) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} P(\phi)(v_k)=(\prod_{j=1,j\neq i,k}^n(\lambda_j-\phi))\circ(\lambda_k-\phi))(v_k)=(\prod_{j=1,j\neq i,k}^n(\lambda_j-\phi))(\lambda_k-\phi)(v_k)=(\prod_{j=1,j\neq i,k}^n(\lambda_j-\phi))(\lambda_k\cdot v_k-\phi(v_k))=(\prod_{j=1,j\neq i,k}^n(\lambda_j-\phi))(\lambda_k\cdot v_k-\lambda_k\cdot v_k)=(\prod_{j=1,j\neq i,k}^n(\lambda_j-\phi))(0)=0 \end{eqnarray}$ . Damit erhalten wir mit der ersten Gleichung und dem Lemma (angewandt auf $\begin{eqnarray} v:=z_iv_i \end{eqnarray}$ ) die Gleichungskette $\begin{eqnarray} 0=P(\phi)(\sum_{j=1}^nz_jv_j)=P(\phi)(\sum_{j=1,k\neq i}^nz_kv_k)+P(\phi)(z_iv_i)=\sum_{j=1,k\neq i}^nz_kP(\phi)(v_k)+P(\phi)(z_iv_i)=\sum_{j=1,k\neq i} ^nz_k0+P(\phi)(z_iv_i)=0+P(\phi)(z_iv_i)=P(\phi)(z_iv_i)=P(\lambda_i)\cdot(<br /> z_iv_i)=(\prod_{j=1,j\neq i}^n(\lambda_j-\lambda_i))(z_iv_i) \end{eqnarray}$ , also die zweite der beiden Gleichungen. Viele Grüße Tobias

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