Beweis für 2 Kongruenzen gesucht

21.07.2025, 13:44

dalek

Beweis für 2 Kongruenzen gesucht

$\begin{eqnarray*} \text{Gegeben sei ein Tripel (a, b, d).} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Es soll gelten:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a, b, d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d < a < b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^3 \equiv 0 \; mod \; (a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(a + b) ist keine Primzahl.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Zu zeigen ist, dass die folgenden beiden Kongruenzen nicht gleichzeitig erfüllt sein können:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b - d)³ - b³ \equiv 0 \text{ mod (a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - d)³ - a³ \equiv 0 \text{ mod (b)} \end{eqnarray*}$

Ich habe mal ein Python Programm geschrieben, das 10 Milliarden Tripel (a,b,d) geprüft hat. Kein einziges konnte beide Kongruenzen gleichzeitig erfüllen.

Eine formale Beweisführung mit Hilfe von KI hat bis jetzt zu fehlerhaften oder widersprüchlichen Ergebnissen geführt.

Kann jemand von Euch einen gültigen Beweis liefern?

22.07.2025, 09:47

dalek

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RE: Beweis für 2 Kongruenzen gesucht.

Zitat:

Original von dalek
$\begin{eqnarray*} \text{Gegeben sei ein Tripel (a, b, d).} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Es soll gelten:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a, b, d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d < a < b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gcd(a,b) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^3 \equiv 0 \; mod \; (a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(a + b) ist keine Primzahl.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Zu zeigen ist, dass die folgenden beiden Kongruenzen nicht gleichzeitig erfüllt sein können:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b - d)³ - b³ \equiv 0 \text{ mod (a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - d)³ - a³ \equiv 0 \text{ mod (b)} \end{eqnarray*}$

Ich habe mal ein Python Programm geschrieben, das 10 Milliarden Tripel (a,b,d) geprüft hat. Kein einziges konnte beide Kongruenzen gleichzeitig erfüllen.

Eine formale Beweisführung mit Hilfe von KI hat bis jetzt zu fehlerhaften oder widersprüchlichen Ergebnissen geführt.

Kann jemand von Euch einen gültigen Beweis liefern?

22.07.2025, 10:50

Elvis

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Man sollte noch 0<d fordern, denn für d=0 sind alle 3 Kongruenzen für alle a, b mit 0<a<b erfüllt. Dass a+b nicht prim ist, ergibt sich aus der ersten Kongruenz wegen $\begin{eqnarray*} p|d^3\Rightarrow p|d \end{eqnarray*}$ , was für 0<d<a+b nicht möglich ist.

22.07.2025, 12:29

dalek

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RE: Beweis für 2 Kongruenzen gesucht.

Zitat:

Original von dalek

Zitat:

Original von dalek
$\begin{eqnarray*} \text{Gegeben sei ein Tripel (a, b, d).} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Es soll gelten:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a, b, d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < d < a < b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gcd(a,b) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^3 \equiv 0 \; mod \; (a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(a + b) ist keine Primzahl.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Zu zeigen ist, dass die folgenden beiden Kongruenzen nicht gleichzeitig erfüllt sein können:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b - d)³ - b³ \equiv 0 \text{ mod (a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a - d)³ - a³ \equiv 0 \text{ mod (b)} \end{eqnarray*}$

Ich habe mal ein Python Programm geschrieben, das 10 Milliarden Tripel (a,b,d) geprüft hat. Kein einziges konnte beide Kongruenzen gleichzeitig erfüllen.

Eine formale Beweisführung mit Hilfe von KI hat bis jetzt zu fehlerhaften oder widersprüchlichen Ergebnissen geführt.

Kann jemand von Euch einen gültigen Beweis liefern?

23.07.2025, 10:58

dalek

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RE: Beweis für 2 Kongruenzen gesucht.

Hab jetzt einen Beweis erstellt von dem ich denke, dass er richtig ist: Widerspruchsbeweis_Tripel.pdf

Das sagt die KI über meinen Beweis: Überprüfung_Widerspruchsbeweis_Tripel.pdf

23.07.2025, 11:51

Elvis

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Bis 1. kann ich dem Beweis folgen, weil ich das auch schon hatte. Bei 2. verstehe ich die erste Zeile. Danach würde ich mir zu jeder Folgerung weitere Erklärungen wünschen. (Bisher konnte ich keinen Fehler finden. Die KI erklärt leider nichts sondern stimmt allem zu, das hilft gar nichts.)

23.07.2025, 13:12

dalek

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Ja, der Beweis ist sehr kompakt. Ich kann die einzelnen Schritte gerne näher erklären.

Im Anhang schon mal die Erklärung bzw. der Beweis für Punkt 2, Absatz 2

Aus dieser Bedingung folgt dann Punkt 2, Absatz 3

23.07.2025, 15:29

Elvis

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Warum ist d|a+b ?
Welche Rolle spielt es, dass eine quadratische Kongruenz maximal 2 Lösungen hat, und warum ist das so ? Zum chinesischen Restsatz musst du noch ein paar Anmerkungen in deinen Beweis einbauen...

23.07.2025, 17:44

dalek

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Warum ist d|a+b ?

(a + b) und d haben gemeinsame Teiler. Das folgt unmittelbar aus

$\begin{eqnarray*} d^3 \equiv 0 \: mod (a+b) \end{eqnarray*}$

Welche Rolle spielt es, dass eine quadratische Kongruenz maximal 2 Lösungen hat, und warum ist das so ?

Das sagt aus, dass die 2 Kongruenzen ab 4 Lösungen haben können. Ist für den weiteren Beweisschritt notwendig. Nehmen wir nur mal an der Exponent wäre keine Primzahl sondern 9. Dann könnten die Polynome zusätzliche Nullstellen haben, welches die Anzahl (9-1)^2 der Nullstellen für die Kongruenzen, überschreiten würde. Ich habe das mal mit (7,57,6) und n = 9 getestet und eine Lösung erhalten. Andererseits kann ich das Tripel auch so schreiben (7^3, 57^3, 6^3) mit n = 3 und die Welt ist wieder in Ordnung. Ja, eine genaue Erklärung ist etwas komplex und der Beweis muss dahingehend noch etwas ausgebaut werden.
Ich werde dem Beweis zu einem späteren Zeitpunkt einen Anhang hinzufügen, der die einzelnen Sachverhalte näher erläutert. Das gilt auch für den chinesischen Restsatz.

In der Anlage habe ich noch eine PDF beigefügt, die zeigt auf was ich hinaus will. Ist nur ein Versuch und vielleicht gelingt es.

23.07.2025, 18:16

Elvis

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Wie ich sehe, hast du die unbegründete Behauptung d|a+b aus deinem Beweisschritt 2. wieder entfernt. Richtig ist, dass wegen a+b|d^3 jeder Primteiler von a+b auch Primteiler von d^3 und somit Primteiler von d ist. Jetzt musst du aber anders begründen, warum gcd(a,d)=gcd(b,d)=1 ist, nicht einfach nur behaupten.
gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)=1 folgt aus gcd(a,b)=1, doch d könnte ja noch Primteiler enthalten die nicht in a+b sondern in a oder b enthalten sind. Dann könntest du nicht schließen, dass a und b die Q-Faktoren teilt.

23.07.2025, 20:05

dalek

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Hab bereits eine Idee für den Beweis. Mit der zusätzlichen Einschränkung d < a < b dürfte es funktionieren. Ich werde den Beweis nachliefern, bin aber die nächsten 2 Tage anderweitig beschäftigt

25.07.2025, 14:23

dalek

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Hallo Elvis,
du hast natürlich Recht. Eine Behauptung ohne Beweis ist nichts wert. Ich kann auch keinen Beweis nachliefern, denn es gibt zahlreiche Gegenbeispiele.

Übrigens sind die aktuellen Bedingungen für ungültige Tripel nicht ausreichend. Obwohl ich bereits 10 Milliarden Tripel auf Gültigkeit geprüft habe, habe ich jetzt ein Tripel gefunden, das alle aufgestellten Bedingungen erfüllt.

Darüber hinaus habe ich einige angeblich sehr gute Mathe-KI's bemüht. Was heraus kam waren zum Teil haarsträubende Antworten.

25.07.2025, 19:53

Elvis

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Danke, das beruhigt mich sehr. Ich konnte den Beweis nicht führen und dachte schon, ich werde allmählich zu alt für simple Übungsaufgaben. Augenzwinkern

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