CDF einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

24.07.2025, 13:49

Huldrich

CDF einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ich habe die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} P(v) = \left| {H{F^{v - 2}}A} \right| \end{eqnarray*}$ , H und F sind quadratische Matrizen und A ein Vektor, alle mit der Dimension t, | | ist die 1-Norm. Davon möchte ich die "Cumulative Distribution Function"

$\begin{eqnarray*} CDF(V)=P(v\leq V)=\sum _{v=1}^{V} P(v) \end{eqnarray*}$

berechnen für t=70000 und V=650000. Die Formel dafür wäre eigentlich

$\begin{eqnarray*} CDF(V)=|(I-F^{V-1}) A| \end{eqnarray*}$

mit I der Identitätsmatrix. Das Problem ist, dass Mathematica Fehler macht, schon für t=100 und V=3 ergibt es ein falsches Resultat, wahrscheinlich weil zu viele Zahlen involviert sind, die zu klein sind. Aber ich habe herausgefunden, dass

$\begin{eqnarray*} log (1/P(v))=-log \left| {H{F^{v - 2}}A} \right| \end{eqnarray*}$

näherungsweise eine Gerade $\begin{eqnarray*} s t+r \end{eqnarray*}$ mit positiver Steigung s ergibt (mit konstantem v=650000). Der Fehler nimmt asymptotisch mit grösser werdendem t ab. Damit ergibt sich aber ein anderes Problem, nämlich dass P(v) zu klein wird ab t=500 und der Logarithmus davon gegen minus Unendlich strebt. P(v) hat in der Tat eine Glockenform mit dem Mode weit rechts bei etwa v=3*10^8. Damit ist die Ermittlung von r und s aber zu ungenau. Dies müsste also irgendwie umgangen werden, z.B. indem irgendeine Funktion g gefunden wird, die die Zahlen in F vergrössert. Das Endresultat müsste dann wieder angepasst werden. Mit log und exp sehe ich nicht wie das gemacht werden könnte, da der Logarithmus einer Matrix die Berechnung von Eigenvektoren beinhaltet, was viel zu kompliziert wäre.

30.07.2025, 13:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huldrich
Ich habe die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} P(v) = \left| {H{F^{v - 2}}A} \right| \end{eqnarray*}$ , H und F sind quadratische Matrizen und A ein Vektor, alle mit der Dimension t, | | ist die 1-Norm. Davon möchte ich die "Cumulative Distribution Function"

$\begin{eqnarray*} CDF(V)=P(v\leq V)=\sum _{v=1}^{V} P(v) \end{eqnarray*}$

berechnen für t=70000 und V=650000. Die Formel dafür wäre eigentlich

$\begin{eqnarray*} CDF(V)=|(I-F^{V-1}) A| \end{eqnarray*}$

mit I der Identitätsmatrix.

Verstehe ich nicht: Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} V=1 \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} CDV(1) = P(1) \end{eqnarray*}$ . Wieso soll da $\begin{eqnarray*} CDF(1)\stackrel{?}{=}|(I-F^0) A| = 0 \end{eqnarray*}$ gelten?

Bist du dir sicher, dass das mit den Exponenten und Indizes alles richtig übertragen wurde? Beispielsweise hast du da $\begin{eqnarray*} P(1) = |HF^{-1}A| \end{eqnarray*}$ , also das Inverse der Matrix $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ darin. Ist das wirklich so beabsichtigt?

31.10.2025, 12:08

Huldrich

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Die Verteilung ist gültig für v>2. P(1)=1/a^t und P(2)=|H.A|. Damit ist CDF(1)=1/a^t und CDF(2)=1/a^t+|H.A|. Tschuldigung, dass ich das ein bisschen lasch dokumentiert habe... Ich wollte nur auf die wesentlichen Informationen aufmerksam machen, da die Probleme sich mit v>2 ergeben. Für diese habe ich immer noch keine Lösung gefunden. Wenn ich das Ganze exponentialisiere und dann erneut logarithmiere habe ich am Schluss das gleiche falsche Resultat für genügend grosse t.

$\begin{eqnarray*} \exp \left( {\frac{1}{{{a^t}}} + \left( {I - {F^{V - 1}}} \right)A} \right) = \exp \left( {\frac{1}{{{a^t}}}} \right)\mathop \prod \limits_{k = 1}^t \exp \left( {{A_k}} \right)\mathop \prod \limits_{k = 1}^t \exp \left( { - {{\left( {{F^{V - 1}}A} \right)}_k}} \right) \end{eqnarray*}$

Umgekehrt geht es leider nicht da log(a+b) nicht vereinfacht werden kann, im Gegensatz zu exp(a+b). Wenn ihr wollt, kann ich das Notebook anhängen.

31.10.2025, 12:35

Huldrich

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Sorry, die Formel ist natürlich:

$\begin{eqnarray*} \exp \left( {\frac{1}{{{a^t}}} + \left| {\left( {I - {F^{V - 1}}} \right)A} \right|} \right) = \exp \left( {\frac{1}{{{a^t}}}} \right)\mathop \prod \limits_{k = 1}^t \exp \left( {{A_k}} \right)\mathop \prod \limits_{k = 1}^t \exp \left( { - {{\left( {{F^{V - 1}}A} \right)}_k}} \right) \end{eqnarray*}$

Übrigens kann es nicht an der Matrixmultiplikation liegen, denn

$\begin{eqnarray*} \text{CDF} (V)=\sum _{v=1}^V P (v)=\frac{1}{a^t}+\sum _{v=2}^V |H F^{v-2}A| \end{eqnarray*}$

ergibt das richtige Resultat, obschon darin auch F^(v-2) enthalten ist.

13.11.2025, 12:32

Huldrich

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Das mit "Exponentialisieren" bringt nichts, ebenso wie andere Tricks. Die Formel für CDF ist für grössere t numerisch instabil, gleichgültig wie man sie modifiziert. Es bleibt mir also nichts anderes übrig, als P(v) bis V zu summieren. Das ist numerisch stabil für irgendein t. Das Problem ist aber, dass ich H nur für kleine t berechnen kann. H ist abhängig von anderen Matrizen G und B, die die folgende Eigenschaft haben:

|G.M|=|(1-B).M|

G ist eine unbekannte (t-u+1) mal u Matrix und B eine bekannte u mal u Matrix, wobei (t+1)/2<=u<=t. M kann irgendeine u mal n Matrix sein, wobei n sinnvoll gewählt werden muss. Leider ist G!=1-B. Das stimmt schon rein mit den Dimensionen nicht überein. Man müsste also genügend verschiedene Matrizen M finden, so dass daraus mit obiger Formel ein lineares Gleichungssystem resultiert, das G bestimmt. Die Matrizen, die ich aber bisher ausprobiert habe, erzeugen kein System von (t-u+1)u linear unabhängigen Gleichungen. Es war bisher immer nur die Hälfte davon unabhängig. Also ich denke, mit ausprobieren komme ich nicht weiter. Man müsste die M systematisch finden. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das machen könnte, falls es überhaupt möglich ist. Hat jemand schon mal etwas Ähnliches gemacht?

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