Generierung der Natürlichen Zahlen: "next level"

30.07.2025, 10:40

Justice

Generierung der Natürlichen Zahlen: "next level"

Hallo liebe Matheboarder!

Terence Tao hat in einem Interview gesagt man kann die natürlichen Zahlen mit Addition und Multiplikation "generieren" / Beschreiben.
Addition mit Einheitsheitswert 1 aus den Axiomen: 1 + 1 + 1 usw.
Multiplikation mit ganzen Zahlen, den Primzahlen: 2 * 2 * 3 usw.

Dann habe ich mich gefragt, dies könnte man ja fortsetzen mit Potenzieren und reellen Zahlen.

Und hier würde ich die Eulersche Zahl e als "natürliche" Potenz-Basis ins Spiel bringen.
Und mit dieser könnte ich auch die Natürlichen Zahlen "bilden".

$\begin{eqnarray*} 1=e^{E1}| E1=0 2=e^{E2}| E2=0.69315... 3=e^{E3}| E3=1.09861... 4=e^{E4}| E4=1.38629... \end{eqnarray*}$
Und die E*'s sind genau wie Axiom-Einheitswert 1 und die Primzahlen, elementare Zahlen.

Schön halt auch die Fortsetzung und Ausdehnung von gleichzeitig 3 elementaren Mathematischen "Dingen": Operator und Zahlenraum und kleinste/erste Zahl.
Addtion mit Axiomszahl 1. mit der ersten (und einzigen) Zahl 1.
Multiplikation mit ganzen Zahlen mit der kleinsten Zahl 2.
Potenzierung mit reellen Zahlen mit der kleinsten Zahl 0.

Lehrer

Es geht hier nicht drum ob wir das brauchen, oder Sinnvoll, oder hilfreich ist.
Weil vor 100'000 Jahren hätten die höhlenbewohner-mathematiker auch gesagt primzahlen benöten wir nicht um die Fleischstücke zu zählen. wir zählen einfach 1 + 1 + 1 + 1 gibt 4 Steaks....

Was haltet Ihr von diesen reellen elementaren Zahlen? Wink

30.07.2025, 12:02

Elvis

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So wie du es machst, geht es auch, und wer will kann eine beliebige reelle Zahl größer 1 als Basis nehmen, um die natürlichen Zahlen als Potenzen dieser Basis darzustellen. Damit hat man überabzählbar viele Möglichkeiten, die abzählbar vielen natürlichen Zahlen zu erzeugen.
Hat Terence Tao nicht dazugesagt, dass man alle natürlichen Zahlen außer 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen kann? Auf die 1 möchte man nicht gern verzichten, und sie ist nicht das Produkt von Primzahlen. (Primelemente sind niemals Teiler von Einheiten. Die Eindeutigkeit der Primzerlegung ist wichtig und nicht selbstverständlich.)

30.07.2025, 12:47

IfindU

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Die Abbildung $\begin{eqnarray*} (\mathbb N, +) \to ( \exp(\mathbb N), \cdot) \end{eqnarray*}$ ist ein Halbgruppenisomorphismus. Viel mehr erkenne ich nicht als Einblick aus dem Post.

@Elvis: Ich kenne es, dass man das leere Produkt als 1 definiert und dann ist 1 eindeutig als das leere Produkt der Primzahlen darstellbar. Aber ich verstehe, wenn man das nicht "natürlich" genug ansieht Augenzwinkern

30.07.2025, 13:01

Justice

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Zitat:

Original von Elvis
Hat Terence Tao nicht dazugesagt, dass man alle natürlichen Zahlen außer 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen kann? Auf die 1 möchte man nicht gern verzichten, und sie ist nicht das Produkt von Primzahlen. (Primelemente sind niemals Teiler von Einheiten. Die Eindeutigkeit der Primzerlegung ist wichtig und nicht selbstverständlich.)

Ja, hatte er erwähnt gehabt. Freude

Was ich meine ist, dass diese Zahlen: E1, E2,... die reellen Potenz-Primzahlen sind, und vielleicht sogar irgendwo eine wichtige Rolle spielen könnten in der Zahlentheorie.
Es ist wie die "Entdeckung" der Primzahlen. Freude

Es gibt also ganze Primzahlen und reelle Primzahlen, könnte man dann sagen.

In einer Vorlesung zeigte Terence Tao z.B., dass dank OEIS - Online Encyclopedia of Integer Sequences diverse zusammenhänge/verbindungen in unterschiedlichen Mathematischen Teilgebieten zueinander gefunden wurde.

Schade gibt es keine OEC - Online Encyclopedia of Constants.
Dort würde man dann auch irgendwann mal neue zusammenhänge finden... inklusive der E1,E2,... mit der lösung für die nicht-trivialen Riemann Zeta-Funktion's Nullstellen ! Gott

30.07.2025, 14:14

Elvis

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Nein, so einfach ist das nicht. Wenn es da einen Zusammenhang gäbe, hätten wir ihn schon gefunden. Den wichtigen Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Primzahlen für die Riemannsche $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ -Funktion finden wir in der rechten Halbebene s>1 in der Reihendarstellung und dem Eulerprodukt $\begin{eqnarray*} \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s}=\prod_{p\in \mathbb P}\frac 1{1-\frac 1{p^s}} \end{eqnarray*}$
Ich glaube nicht, dass deine natürlichen Potenzzahlen oder Potenzprimzahlen diese Gleichung vereinfachen. Wenn das möglich wäre, dann hätte Euler das schon gemacht, schließlich stammen sowohl e als auch das Eulerprodukt von ihm.

31.07.2025, 08:46

Justice

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Danke Elvis für Deine Antworten.

Das mit der Zeta-Funktion war nicht ganz so ernst gemeint gewesen.
Und natürlich wäre ja heutzutage jeder neuer Ansatz für die Lösung der Rie. Hyp. super komplex. weil sich ja schon unzählige Mathematiker daran getüftelt haben. Aber vielleicht ja über mehrere Teilgebiete um 15 Ecken könnten diese E1,E2,... für einen bedeutende noch offenen Mathematikfrage ein Schlüssel darstellen smile

Ich finde einfach "meine" Potenz-Primzahlen Harmonieren elegant mit seinen Vorreitern 1+1+... und p_k * p_n * .... als "Bausteine" der natürlichen ganzen Zahlen.

31.07.2025, 12:51

Elvis

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Es gibt unendlich viele Theoreme in der Mathematik, die noch entdeckt, vermutet und bewiesen werden wollen. Niemand kennt sie, fast alle werden immer unbekannt bleiben. Wunschdenken hilft nicht weiter, nur intelligentes Denken und beharrliches Arbeiten, selten allein, meist in Kooperation mit anderen Mathematikern.

04.08.2025, 11:58

Justice

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Ja, andere Mathematiker können nun meine Zahlen verwenden um offene Probleme zulösen. Das ist auch Teamwork.

Mal schauen was die KI-Mathematiker alles bringen werden. Wird eine spannende Ära.

04.08.2025, 14:07

IfindU

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Nur um es zusammenzufassen. Deine Zahlen sind $\begin{eqnarray*} \{ \ln(n) | n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ ? Warum $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und nicht eine andere Basis? Oder allgemeiner: Was zeichnet deine Wahl zu einer generischen (umkehrbaren) Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ f(n) | n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ aus?

Dann wäre nämlich $\begin{eqnarray*} n = f^{-1} ( f(n)) \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} (f(n)) \end{eqnarray*}$ generieren genauso die natürlichen Zahlen. Was deine Zahlen von Taos am meisten unterscheiden, es sind selbst keine natürlichen Zahlen. Im Gegensatz zur $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ der Addition, oder den Primzahlen bzgl. der Multiplikation.

04.08.2025, 14:25

Justice

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Hallo IfindU, danke für Deine Antwort.

Aber f(n) = e^n erfühlt ja Dein Kritereum mit $\begin{eqnarray*} ln(e^{n} ) \end{eqnarray*}$ =n

Und wieso Basis e? Weil es der natürliche Logarithmus ist und der einzige der Sinn macht für solche Konstanten. Alle anderen Basen sind von Menschen erfunden. e ergibt sich aus den Axiomen und eulerschen Berechnungen. Es gibt ja auch diverse Verbindungen zwischen "e" und den Natürlich Zahlen. z.B. $\begin{eqnarray*} e=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Und mit den Natürlich Zahlen selbst als "Bauklötze" für die Natürlichen Zahlen. Ist bei E1,E2,... nicht so, das ist korrekt. Aber wer sagt, das sie es sein müssen? Ber der Addtion von 1en kommt komplett ohne natürliche Zahlen aus, man verwendet nur die axiomatische Einheitszahl 1.
Und wenn jetzt jemand gekommen wäre und gesagt hätte mit Multiplikation und den Primzahlen kann ich die natürliche Zahlen auch nachbilden, hätte man gefragt, macht das Sinn? diese Primzahlen sind ja alle unterschiedlich und werden immer grösser und benötigen eine Zahlenraum grösser 1...

04.08.2025, 16:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justice
Lehrer

Es geht hier nicht drum ob wir das brauchen, oder Sinnvoll, oder hilfreich ist.

Unter dieser Prämisse betrachtet ist deine Idee natürlich großartig. Augenzwinkern

04.08.2025, 16:26

Justice

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@HAL 9000
Das hast du richtig erkannt Augenzwinkern

04.08.2025, 17:16

IfindU

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Eine natürlichere Variante fänd ich nach Addition und Multiplikation die natürliche Potenztürme zu untersuchen $\begin{eqnarray*} a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}} \end{eqnarray*}$ .

An der Stelle sah ich aber nicht, dass es hilfreich ist. Da mit $\begin{eqnarray*} a_2=1 \end{eqnarray*}$ der Turm trivial wird, und ansonsten entweder nur Potenzen getroffen werden und gemischte Zahlen außen vorbleiben.

Oder Zahlen welche $\begin{eqnarray*} x^x = n \end{eqnarray*}$ erfüllen. Die haben sogar den Vorteil, dass einige $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sogar natürlich wären Augenzwinkern

04.08.2025, 22:41

Elvis

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Wir kennen Primzahlpolynome, das sind ganzzahlige Polynome höheren Grades in mehreren Variablen, die ganzzahlige Werte annehmen. Als positive Werte werden genau die natürlichen Primzahlen angenommen, also kennt man im Prinzip alle Primzahlen. Weil diese Polynome auch jede Menge negative Werte annehmen, nützt das nicht viel, macht aber Spaß, sich damit zu beschäftigen.

05.08.2025, 10:04

Justice

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@IfindU

Nein nach Multiplikation kommt Potenzieren $\begin{eqnarray*} a^{x} \end{eqnarray*}$ , dann kommt $\begin{eqnarray*} ((a^{x} )^{x} )^{x} \end{eqnarray*}$ (habe ich vor langer zeit schon vorgestellt in einem Beitrag), dann kommen von mir aus die Potenztürme Augenzwinkern

Hier der Link zum Thema: Mathe-Rätsel: Gegenstück von x?

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