Bijektion von (0;1) --> [0;1]

06.08.2025, 15:21	laila49	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion von (0;1) --> [0;1] Meine Frage: ich weiß nicht mehr, wie ich vor 50 Jahren diese Bijektion angegeben habe. War mal eine Übungsaufgabe. Ich finde das auch in keinem Buch mehr. Meine Ideen: sie muss aus Geradengleichungen mit Ausnahmen bestehen???
06.08.2025, 16:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine stetige Bijektion gibt es offenbar nicht, und anderweitig kann man sich beliebig austoben, z.B. $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }x=\frac{1}{2}\\ 0 &\mbox{ für }x=\frac{1}{3}\\ \frac{1}{n-2} &\mbox{ für }x=\frac{1}{n}\mbox{ mit }n\geq 4\\ x&\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ .
07.08.2025, 06:35	laila49	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Es geht ja viel einfacher, als mir heute Nacht eingefallen ist. Ich habe an eine Folge A1 gedacht, die die rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 abzählt, und eine Folge A2, die aus A1 die 0 und die 1 entfernt; Dann die Folgenglieder einander zugeordnet. Für die reellen Zahlen natürlich f(x) = x. aber: warum einfach, wenn es auch kompliziert geht. Nochmals danke.
07.08.2025, 08:35	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein ginge, ein Hilbert-Hotel einzubetten, mit den Randpunkten als erste Zimmer: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ unendlich und $\begin{eqnarray} a,b\notin X. \end{eqnarray}$ Demzufolge existiert eine Injektion $\begin{eqnarray} e\colon\mathbb N\to X\cup\{a,b\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e(0)=a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e(1)=b. \end{eqnarray}$ Hiermit konstruiert man die Bijektion $\begin{eqnarray} f\colon X\cup\{a,b\}\to X,\quad f(x) := \begin{cases}e(e^{-1}(x)+2), & \text{wenn}\;x\in e(\mathbb N),\\ x,& \text{sonst,}\end{cases} \end{eqnarray}$ deren Umkehrung eine Bijektion $\begin{eqnarray} X\to X\cup\{a,b\} \end{eqnarray}$ ist.

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