Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander

22.08.2025, 10:26

Student22082025

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Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander

Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlich-diemnsionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und $\begin{eqnarray*} A \in End(V) \end{eqnarray*}$ normal. Sei $\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Aw = \mu w \end{eqnarray*}$ . Warum gilt folgende Gleichungskette $\begin{eqnarray*} \lambda \langle w,v \rangle = \langle w , \lambda v \rangle = \langle w , Av \rangle = \langle A^* w, v \rangle = \langle \mu w, v \rangle = \mu \langle w,v \rangle \end{eqnarray*}$ ?

Die erste Gleichung verwendet die Skalarprodukteigenschaft $\begin{eqnarray*} \langle x,\alpha y \rangle = \alpha \langle x,y \rangle \end{eqnarray*}$ , also das man Konstanten herausziehen darf. Die zweite Gleichung nutzut die Definiton $\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$ . Bei der dritten Gleichung wird die Selbstadjungiertheit also $\begin{eqnarray*} \langle w,Av \rangle_w = \langle A^* w, v \rangle \end{eqnarray*}$ verwendet, aber warum kann man das hier verwenden? Und warum ist $\begin{eqnarray*} A^* w = \mu v \end{eqnarray*}$ ?

Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen smile

smile

22.08.2025, 17:51

IfindU

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RE: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander

Zitat:

Bei der dritten Gleichung wird die Selbstadjungiertheit also $\begin{eqnarray*} \langle w,Av \rangle_w = \langle A^* w, v \rangle \end{eqnarray*}$ verwendet, aber warum kann man das hier verwenden?

Das ist nur die Definition von der Adjungierten.

Was heißt denn, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ normal ist?

22.08.2025, 20:32

Student22082025

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RE: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander
A normal bedeutet doch "nur", dass A mit der Adjungierten kommutiert, also $\begin{eqnarray*} A^*A = AA^* \end{eqnarray*}$ . Ich sehe gerade nicht, wie das hier helfen kann? verwirrt

verwirrt

23.08.2025, 09:28

IfindU

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RE: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander
Du hast $\begin{eqnarray*} A^* w = A^* (\frac 1 \mu A w)= \frac 1 \mu A A^* w \end{eqnarray*}$ . Hilft das? (Falls $\begin{eqnarray*} \mu = 0 \end{eqnarray*}$ müsste man sich hier noch etwas Gedanken machen.)

23.08.2025, 09:46

Student22082025

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RE: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander
Damit sehe ich leider noch nicht, wie mir das helfen kann? Kannst du das bitte weiter erklären? Ich weiß nicht, worauf das hinführen soll?

23.08.2025, 09:56

IfindU

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RE: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander
Sorry, da hab ich mich selbst verrant: Wikiversity. Es wird auf die Aussage hinauslaufen, hattet ihr das in der Vorlesung?

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23.08.2025, 11:02

Elvis

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Ich verstehe nicht, wozu die Voraussetzung dient, dass A zwei (verschiedene?) Eigenwerte und zwei (linear unabhängige?) Eigenvektoren hat. Auch die Frage, warum $\begin{eqnarray*} A^*w=\mu v \end{eqnarray*}$ ist, erschließt sich mir nicht. Ist die Aufgabe überhaupt sinnvoll gestellt? Wenn man durch das Skalarprodukt dividiert, ist $\begin{eqnarray*} \lambda=\mu \end{eqnarray*}$ , also kann ein normaler Endomorphismus nur einen Eigenwert haben? Oder sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten eines normalen Endomorphismus stets zueinander orthogonal? In der Gleichungskette fehlt vielleicht auch an geeigneter Stelle die komplexe Konjugation?

Hilfssatz: Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein normaler Endomorphismus, also $\begin{eqnarray*} AA^*=A^*A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Aw=\mu w \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A^*w=\overline {\mu}w \end{eqnarray*}$ .
Damit ergibt sich nahezu die Kette von Gleichungen, die du aufgeschrieben hast, und es sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten eines normalen Endomorphismus stets zueinander orthogonal. Du musst nur noch beachten, dass ein komplexes Skalarprodukt linear im zweiten und semilinear im ersten Argument ist.

Nachträglich sehe ich, dass IfindU den Hinweis auf meinen Hilfssatz schon gegeben hat. Ich hätte mir die Mühe eigenen Nachdenkens und Beweisens sparen können.

23.08.2025, 12:43

Student22082025

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Der Satz lautete: Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und $\begin{eqnarray*} A \in End(V) \end{eqnarray*}$ normal. Dann gilt: Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

Im Beweis heißt es: Seien $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Av = \lambda v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Aw = \mu w \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \mu \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \lambda \langle w,v \rangle = \langle w , v \lambda \rangle = \langle w, Av \rangle = \langle A^* w, v \rangle = \langle \overline{\mu} w, v \rangle = \mu \langle w, v \rangle \end{eqnarray*}$
Hätte ich den Beweis selber geführt, hätte ich so argumentiert:

Wir wissen:
1. $\begin{eqnarray*} \langle w , A v \rangle = \langle A^* w, v \rangle \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \langle v,\lambda w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \langle \lambda v, w\rangle = \overline{\lambda}\langle v,w \rangle \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \lambda \langle w,v \rangle = \langle w , v \lambda \rangle = \langle w, Av \rangle = \langle A^* w, v \rangle \end{eqnarray*}$

Wie umgehen mit $\begin{eqnarray*} A^*w \end{eqnarray*}$ ?

Hilfssatz: Angenommen $\begin{eqnarray*} Aw = \mu w \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} A^* w = \overline{\mu} w \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} \langle A^* w, w \rangle = \langle w , Aw \rangle = \langle w, \mu w \rangle = \mu\langle w,w \rangle = \langle \overline{\mu} w, w \rangle \end{eqnarray*}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray*} A^* w = \overline{\mu} w \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Hilfssatz können wir dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} \langle A^* w, v \rangle = \langle \overline{\mu} w, v \rangle = \mu \langle w, v \rangle \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \lambda \langle w,v \rangle = \langle w , v \lambda \rangle = \langle w, Av \rangle = \langle A^* w, v \rangle = \langle \overline{\mu} w, v \rangle = \overline{\overline{\mu}} \langle w, v \rangle = \mu \langle w, v \rangle \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \mu \end{eqnarray*}$ muss gelten $\begin{eqnarray*} \langle w, v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

So wäre ich das angegangen. Frage, passt das?

23.08.2025, 13:22

Elvis

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So ist die Aufgabe und dein Lösungsansatz schon wesentlich besser. Der Beweis des Hilfssatzes geht so nicht, weil man aus der Gleichheit von Skalarprodukten nicht auf die Gleichheit der Vektoren schließen kann. Hier kommt mein Versuch im Anhang (bei bedarf bitte anfordern, ansonsten erst noch mal selbst versuchen ...)

23.08.2025, 13:30

Student22082025

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Deinen Beweis würde ich gerne anfordern smile

smile

Meiner wäre:

$\begin{eqnarray*} Aw = \mu w \Rightarrow (A - \mu I)w = 0 \end{eqnarray*}$ , nun ist $\begin{eqnarray*} \langle (A - \mu I)w, (A - \mu I)w \rangle = \langle (A - \mu I)^* w, (A - \mu I)^* w\rangle \Rightarrow (A - \mu I)^* w = 0 \Rightarrow A^* w = \overline{\mu} w \end{eqnarray*}$

23.08.2025, 14:08

Elvis

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Nahe dran, aber unmotiviert, weil man nicht einfach die Behauptung in den Beweis hineinstecken darf, indem man ein Sternchen anbringt.

23.08.2025, 14:12

Student22082025

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Ah! Danke! smile

smile

Woher hast du das? Aus welchem Buch stammt das?

23.08.2025, 14:21

Elvis

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Das stammt aus meinem Gedächtnis, ist in ähnlicher Form bei H.J.Kowalsky "Lineare Algebra" (1972) und in meinem Skript (1974) zu finden. Habe ich aber heute ganz ohne nachschlagen "neu erfunden".

23.08.2025, 14:46

Student22082025

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Welche Eigenschaft hast du bei der dritten Gleichung genau verwendet?

23.08.2025, 15:18

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \langle x,My\rangle=\langle M^*x,y\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (T-\mu I)^*=(T^*-(\mu I)^*)=(T^*-\overline \mu I) \end{eqnarray*}$

23.08.2025, 15:22

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \langle x,My\rangle=\langle M^*x,y\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (T-\mu I)^*=(T^*-(\mu I)^*)=(T^*-\overline \mu I) \end{eqnarray*}$

Das wird auch weiter unten wieder verwendet, dann aber von links nach rechts.

11.04.2026, 14:51

yogibär

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Irgendwo behauptest du doch Unsinn.

ß < v | w > = µ < v | w >

geht doch nur dann, wenn alternativ

ß = µ

oder die beiden Vektoren aufeinander senkrecht steben.

< v | w > = 0

14.04.2026, 14:59

Toffy

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Genau darauf läuft der Beweis hinaus. Man zeigt zuerst, dass aus Aw = mu w auch A* w = konjugiert(mu) w folgt. Dann ergibt sich lambda mal <w,v> = <w,Av> = <A* w,v> = konjugiert(mu) mal <w,v>, bzw. je nach Konvention lambda mal <w,v> = mu mal <w,v>. Da lambda ungleich mu ist, folgt sofort <w,v> = 0, also Orthogonalität. yogibärs Einwand ist damit genau der entscheidende Schritt.

14.04.2026, 16:43

Elvis

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Yyogibärs Einwand ist nicht entscheidend sondern überflüssig, weil im Titel schon steht, dass die Eigenwerte verschieden sind. Zu beweisen war, dass die Eigenvektoren senkrecht zueinander sind, und genau das haben wir getan.

14.04.2026, 17:08

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Elvis
Yyogibärs Einwand ist nicht entscheidend sondern überflüssig

Anmerkung des Moderatorenteams:

Bisher zeichnen sich sämtliche Beiträge von yogibär durch starke Überflüssigkeit aus. Wir heißen den User daher willkommen, verbinden das aber mit der Bitte, darauf zu achten, grundsätzlich beim Thema zu bleiben. Alternativlösungen mögen interessant sein, aber abwegige Vorgehensweisen, verbunden mit privaten Anekdoten und Pseudohumor, helfen dem Fragesteller wie auch anderen Lesern nicht weiter, insbesondere wenn der Thread schon mehrere Jahre alt ist.

Viele Grüße
Steffen

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