Winkel unregelmäßiges Fünfeck

04.09.2025, 17:22

kjgg

Winkel unregelmäßiges Fünfeck

Meine Frage:
wie berechne ich die winkel bei einem unregelmäßigen fünfeck die winkel? a-b=3,6cm; b-c=6,6cm; c-d=4,2cm; d-e=3,2cm; e-a=7,8cm. davon sind die punkte a, c und e rechtwinklich

Meine Ideen:
drei winkel sind 90grad

04.09.2025, 20:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe wie in der Elementargeometrie üblich Großbuchstaben für Punkte.

Bei der Konstruktion wird man mit der Seite $\begin{align*} EA \end{align*}$ der Länge 7,8 beginnen und jeweils im rechten Winkel von $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} E \end{align*}$ aus Strecken der Länge 3,6 beziehungsweise 3,2 abtragen (Längen in cm).
Im Dreieck $\begin{align*} BCD \end{align*}$ liegt die Strecke $\begin{align*} BD \end{align*}$ bereits fest. Man kann $\begin{align*} C \end{align*}$ nun mit Hilfe von Kreisen um $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} D \end{align*}$ vom Radius 6,6 beziehungsweise 4,2 konstruieren. Damit liegt der Winkel bei $\begin{align*} C \end{align*}$ bereits fest. Man kann über ihn nicht mehr frei verfügen. Führt man die Konstruktion durch, ergibt sich bei $\begin{align*} C \end{align*}$ dem Augenschein nach ein rechter Winkel. Eine Rechnung zeigt aber, daß das gar nicht stimmt. Für den Winkel $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ bei $\begin{align*} C \end{align*}$ ermittelt man

$\begin{align*} \gamma = 89{,}79330482 \ldots^{\circ} \end{align*}$

Man kann das mit dem Cosinus-Satz im Dreieck $\begin{align*} BCD \end{align*}$ erledigen. Dazu muß man zuvor die Länge der Strecke $\begin{align*} BD \end{align*}$ bestimmen. Das geht wiederum mit dem Satz des Pythagoras. Man fälle von $\begin{align*} B \end{align*}$ aus das Lot auf $\begin{align*} DE \end{align*}$ .

Man kann auch bei $\begin{align*} C \end{align*}$ einen rechten Winkel verlangen. Dann wird man aber bei den Längen der Strecken $\begin{align*} BC \end{align*}$ und $\begin{align*} CD \end{align*}$ tolerant sein müssen.

04.09.2025, 23:20

Scotty1701D

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mich auch sofort stutzig gemacht:
Mit den fünf Seitenlängen und den drei Winkeln hat man acht Angaben.
Ein Fünfeck ist aber i. A. durch sieben Angaben eindeutig festgelegt.

05.09.2025, 09:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Man kann auch bei $\begin{align*} C \end{align*}$ einen rechten Winkel verlangen. Dann wird man aber bei den Längen der Strecken $\begin{align*} BC \end{align*}$ und $\begin{align*} CD \end{align*}$ tolerant sein müssen.

Wenn man die drei rechten Winkel als fest gegeben betrachtet, bekommt man die Bedingungen einerseits $\begin{eqnarray*} |BD|^2 = |EA|^2 + \left(|AB|-|DE|\right)^2 = 61 \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} |BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2 = 61.2 \end{eqnarray*}$ . Da kann man sich dann raussuchen, welche der fünf Seitenlängen man "freigibt", damit dieser Widerspruch aufgelöst wird.

05.09.2025, 11:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Längen der Strecken $\begin{align*} AB, BC, CD, DE, EA, BD \end{align*}$ mögen der Reihe nach mit $\begin{align*} a, b, c, d , e, f \end{align*}$ bezeichnet werden. HALs Beziehungen schreiben sich dann so:

$\begin{align*} f^2 = e^2 + (a-d)^2 \, , \ \ f^2 = b^2 + c^2 \end{align*}$

Gleichsetzen und Auflösen ergibt:

$\begin{align*} (a-d)^2 = b^2 + c^2 - e^2 \end{align*}$

Gibt man $\begin{align*} b, c, e \end{align*}$ mit den Werten der Aufgabe vor: $\begin{align*} b = \frac{33}{5} , \ c = \frac{21}{5} , \ e = \frac{39}{5} \end{align*}$ , folgt damit

$\begin{align*} a-d = \frac{3}{5} \end{align*}$

Belassen wir es also bei $\begin{align*} a = \frac{18}{5} \end{align*}$ und "geben $\begin{align*} d \end{align*}$ frei": $\begin{align*} d = 3 \end{align*}$ – und alles wird gut.

Und hier noch das Prachtexemplar:

[attach]58329[/attach]

Neue Frage »

Antworten »

Winkel unregelmäßiges Fünfeck

Verwandte Themen