Quersummen-Summen von Schnapszahlen

16.09.2025, 09:59

Conny_1729

Quersummen-Summen von Schnapszahlen

Solange noch das Sommerloch vorherrscht, hier mal was zu Schnapszahlen ... (aber nicht nebenher zur Flasche greifen!!! Augenzwinkern

)

Problemstellung:

Gegeben ist eine (n+1)-stellige Zahl $\begin{eqnarray*} Z_{(a,n)} \end{eqnarray*}$ , welche nur aus der Ziffer a besteht, also die Form aaa…aaa besitzt.
$\begin{eqnarray*} && n\in \mathbb N_0 && a\in \mathbb N_0 && 0\leq a\leq 9 \end{eqnarray*}$

Beispiele hierfür sind:
$\begin{eqnarray*} && Z_{(1,0)}=1 && Z_{(7,4)}=77777 && Z_{(2,6)}=2222222 \end{eqnarray*}$

Für den Sonderfall mit a=0 soll gelten:
$\begin{eqnarray*} Z_{(0,0)}=0 Z_{(0,n)}=0 \end{eqnarray*}$

Die Quersumme einer Zahl m sei Q(m) mit $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Frage 1:

Gesucht ist die Summe $\begin{eqnarray*} S(a,n) \end{eqnarray*}$ des folgenden Ausdruckes:

$\begin{eqnarray*} S(a,n) =\sum\limits_{m=0}^{Z_{(a,n)}} Q(m)=\text{ }? \end{eqnarray*}$

Beispiel: S(9,0)=45
Beispiel: S(9,1)=900
Beispiel: S(4,3)=66430

Sofern nur eine Näherungsformel (mit relativem Fehler!) für sehr große n angegeben werden kann, sollte diese Approximation jedoch weitaus besser sein als …
$\begin{eqnarray*} && n \text{ } sehr \text{ } groß: \\&& S(a,n) \approx \frac{a\cdot n}{2} \cdot 10^{n+1} \end{eqnarray*}$

Ziel sollte jedoch sein, die exakte Gleichung zur Summenberechnung zu finden, egal wie groß n sein mag.

Frage 2:

Man versuche zu bestätigen, dass die folgende Summendifferenz auch durch ein Integral ausgedrückt werden kann.

$\begin{eqnarray*} S\left(a,n\right)-S\left(9-a,n\right)=\frac{11}{81}\cdot 10^{n+1} \cdot \int_{9-a}^{a} \! \left[sin\left(\frac{1}{2} \left(\pi -2\cdot arcsin\left(\sqrt{1-\left(x+\frac{81}{22}\cdot n \right)^2 } \right) \right) \right)-\frac{9}{11}\right] \, dx \end{eqnarray*}$

Da im Integranden mehrdeutig komplexe Funktionen stehen, soll hier stets die Konvention gelten, dass die Hauptwerte Verwendung finden.

Frage 3:

Es soll davon ausgegangen werden, dass $\begin{eqnarray*} S\left(a,n\right) \end{eqnarray*}$ als Rezeptur folgende Zutaten beinhaltet und somit in ausreichender(?) Form vorliegt:
$\begin{eqnarray*} & S\left(a,n\right)= & \text{ } a\cdot \left(a\cdot x_1+x_2\right) & +a\cdot n\cdot \left(a\cdot x_3+x_4\right) & +a\cdot 10^{n+1}\cdot \left(a\cdot x_5+x_6\right) & +a \cdot n\cdot 10^{n+1}\cdot \left(a\cdot x_7+x_8\right) \end{eqnarray*}$

mit den 8 Unbekannten $\begin{eqnarray*} x_1 . . . x_8 \end{eqnarray*}$ .

Vorgegeben sollen dann die folgenden 9 möglichen Aussagen bzgl. $\begin{eqnarray*} S\left(a,a\right) \end{eqnarray*}$ sein, wobei $\begin{eqnarray*} 1\leq a\leq 9 \end{eqnarray*}$ zur Auswahl steht und womit das Gleichungssystem wohl leider noch unterbestimmt wäre. Also kommen noch ein paar weitere Aussagen in der Form $\begin{eqnarray*} S\left(9,k\right) \end{eqnarray*}$ hinzu, wobei wir bei k=1 anfangen und dann k immer um +1 schrittweise erhöhen. Wie groß muss k werden, damit das Gleichungssystem weder unter- noch überbestimmt ist?

theoretisch vorgegeben sind also:

S(1,1); S(2,2); S(3,3); … ; S(9,9) sowie S(9,1); S(9,2); …

Gruß Conny

Kontrolle als Randnotiz:
$\begin{eqnarray*} Q\left(S_{(3,13)}-S_{6,12)}\text{ }\right)=9 \end{eqnarray*}$

17.09.2025, 11:59

HAL 9000

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Zu Frage 1 kann ich immerhin eine Rekursionsformel beisteuern:

$\begin{eqnarray*} S(a,0) = \frac{a(a+1)}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(a,n) = a\left[ \frac{55\cdot 10^{n-1} -1}{9}a + 5(9n-1)\cdot 10^{n-1} + 1\right] + S(a,n-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a=9 \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} S(9,0) = 45 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(9,n) = 45(9n+10)\cdot 10^{n-1} + S(9,n-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

und führt zur expliziten Formel $\begin{eqnarray*} S(9,n) = 45(n+1)\cdot 10^n \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} 1\leq a\leq 8 \end{eqnarray*}$ ist eine explizite Formel für $\begin{eqnarray*} S(a,n) \end{eqnarray*}$ wohl etwas schwieriger aufzustellen. Aber man kann natürlich geduldig deinen Ansatz von Frage 3 auf die Iterationsgleichung loslassen und die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ dann per Koeffizientenvergleich bestimmen. Augenzwinkern

17.09.2025, 13:39

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zu Frage 1 kann ich immerhin eine Rekursionsformel beisteuern:

$\begin{eqnarray*} S(a,0) = \frac{a(a+1)}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(a,n) = a\left[ \frac{55\cdot 10^{n-1} -1}{9}a + 5(9n-1)\cdot 10^{n-1} + 1\right] + S(a,n-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a=9 \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} S(9,0) = 45 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(9,n) = 45(9n+10)\cdot 10^{n-1} + S(9,n-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

und führt zur expliziten Formel $\begin{eqnarray*} S(9,n) = 45(n+1)\cdot 10^n \end{eqnarray*}$ .

Die Rekursionsformel kann ich über die Differenzbildung der expliziten Form bestätigen. Passt!!!

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} 1\leq a\leq 8 \end{eqnarray*}$ ist eine explizite Formel für $\begin{eqnarray*} S(a,n) \end{eqnarray*}$ wohl etwas schwieriger aufzustellen. Aber man kann natürlich geduldig deinen Ansatz von Frage 3 auf die Iterationsgleichung loslassen und die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ dann per Koeffizientenvergleich bestimmen. Augenzwinkern

Nun ja, ich hätte ja bei Frage 3) so unverschämt dreist sein können und eine "Zutat" unter den Tisch fallen lassen $\begin{eqnarray*} (+a \cdot n^2 \cdot k_9) \end{eqnarray*}$ ??? - Darüber würde man aber erst stolpern, wenn man sich wie du um die rekursive/explizite Form bemüht. Aber auch das Aufstellen des Gleichungssystems und das Durchrechnen der relevanten Anzahl (?) an Aussagen könnte für manchen zum Fallstrick werden, wenn es in Richtung der "großen Zahlen" geht. Aber jeder darf ja zum Glück selbst entscheiden ...

Den schwierigsten Teil mit Frage 1) hast du ja somit schon geknackt!!!

Gruß Conny

17.09.2025, 14:00

HAL 9000

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Es braucht nicht die "Vorgabe" von Frage 3:

Eine Partikulärlösung der inhomogene Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} S(a,n)-S(a,n-1) = p(n)\cdot \lambda^n \end{eqnarray*}$ mit Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ findet man mit Ansatz $\begin{eqnarray*} S(a,n) = q(n)\cdot \lambda^n \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ als Polynom vom selben Grad wie $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ (im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda\neq 1 \end{eqnarray*}$ ) bzw. ein Grad höher (im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ) anzusetzen.

Insofern ist die Struktur der Lösung schon klar: Man kann $\begin{eqnarray*} S(a,n) = rn+s + (un+v)\cdot 10^n \end{eqnarray*}$ ansetzen, wobei $\begin{eqnarray*} r,s,u,v \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber durchaus von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängen dürfen.

Noch ein wenig aufgehübscht steht am Ende da: $\begin{eqnarray*} S(a,n) = \frac{a}{162} \left[ (9-a)(18n+29) + (81n + 11a-18)\cdot 10^{n+1} \right] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Conny_1729
$\begin{eqnarray*} S\left(a,n\right)-S\left(9-a,n\right)=\frac{11}{81}\cdot 10^{n+1} \cdot \int_{9-a}^{a} \! \left[sin\left(\frac{1}{2} \left(\pi -2\cdot arcsin\left(\sqrt{1-\left(x+\frac{81}{22}\cdot n \right)^2 } \right) \right) \right)-\frac{9}{11}\right] \, dx \end{eqnarray*}$

Dieser Schabernack erinnert mich an eine in "Hot Shots" beschriebene Augenoperation, die durch eine anal eingeführte Sonde bewerkstelligt wurde. Na, wer Freude dran hat, kann versuchen, das mit Additionstheoremen auf die hier ja nun vorliegende einfachere Struktur zurückführen. Augenzwinkern

17.09.2025, 15:42

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es braucht nicht die "Vorgabe" von Frage 3:

Eine Partikulärlösung der inhomogene Differenzengleichung $\begin{eqnarray*} S(a,n)-S(a,n-1) = p(n)\cdot \lambda^n \end{eqnarray*}$ mit Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ findet man mit Ansatz $\begin{eqnarray*} S(a,n) = q(n)\cdot \lambda^n \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ als Polynom vom selben Grad wie $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ (im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda\neq 1 \end{eqnarray*}$ ) bzw. ein Grad höher (im Fall $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ) anzusetzen.

Insofern ist die Struktur der Lösung schon klar: Man kann $\begin{eqnarray*} S(a,n) = rn+s + (un+v)\cdot 10^n \end{eqnarray*}$ ansetzen, wobei $\begin{eqnarray*} r,s,u,v \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber durchaus von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängen dürfen.

Noch ein wenig aufgehübscht steht am Ende da: $\begin{eqnarray*} S(a,n) = \frac{a}{162} \left[ (9-a)(18n+29) + (81n + 11a-18)\cdot 10^{n+1} \right] \end{eqnarray*}$ .

Dem ist nichts mehr hinzuzufügen. Freude

Aber man muss bzgl. Frage 3) erst einmal die Struktur belegen können.

Zitat:

Ja, was wäre die Welt, wenn man nicht hin und wieder ein wenig rumblödelt. "Hot Shots" geht immer!!! Augenzwinkern

Gruß Conny

18.09.2025, 11:05

HAL 9000

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Halten wir fest, dass (in vernünftiger Darstellung) $\begin{eqnarray*} S(a,n) - S(9-a,n) = 5\cdot 10^n\cdot (n+1)(2a-9) \end{eqnarray*}$ gilt.

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