Parabel untersuchen

16.09.2025, 12:04

punktlandung3

Parabel untersuchen

Meine Frage:
Hallo Guten Tag,

es müsste doch einen Weg geben, die Brennpunkt-Eigenschaft zur Herleitung einer Parabel zu nutzen und ich habe das eine ums andere mal versucht.

Am Ende lande ich dann bei so etwas wie 1 - (x/2)(dx/dy - dy/dx) = f(x) = x²
Ist das richtig? Und gibt es vielleicht naheliegendere Wege innerhalb des Schulstoffes, sonst versuche ich es später nochmal und dann klappt es.

Grüße

Meine Ideen:
Der Winkel phi sei zwischen der Gerade vom Brennpunkt (0;b) zu P(x,y) und der Ordinate. Angenommen b sei 1.

f'(x) = -1/Senkrechte'(x) = -1/S'(x) = -1 / tan(-(90°-phi/2))
= - cos(phi/2-90°) / sin(phi/2-90°) = - -sin(phi/2) / cos(phi/2)
f'(x) = tan(phi/2) , alpha = phi/2

Für P(x;f(x)) gilt nun x = x, y = 1 - x / tan(phi)

es ist etwas erklärungsbedürftig was davon Voraussetzung und was Ergebnis ist.

16.09.2025, 15:22

Conny_1729

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Ich gehe mal (für mein Verständnis) schrittweise heran, was bei dieser Fragestellung voraugesetzt werden soll und wonach schließlich gesucht wird.

Gesucht wird eine (anzunehmende parabelförmige) Kurve, die bestimmte Brennpunkteigenschaften besitzen soll. Zur Vereinfachung setze ich den Brennpunkt F zuerst mal in den Ursprung (0,0) und die Brennpunkteigenschaften wären dann (für mich), dass ein vertikaler Strahl im Punkt P auf die Kurve trifft und die dortige Tangente den Strahl in den Brennpunkt spiegelt.
für die Parameter: (rechter Parabel-Ast)
$\begin{eqnarray*} x>0 \phi>0 \end{eqnarray*}$

und mit den Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} \\&& y=-\frac{x}{tan(\phi)} \\&& y'=\frac{dy}{dx}=tan\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Auf den Startpunkt der Kurve bei y=-b und x=0 (phi =0) komme ich gleich noch zu sprechen. Den Tangens kann man nun umformen zu …
$\begin{eqnarray*} tan(\phi) =\frac{2\cdot tan(\phi/2) }{1-tan^2(\phi/2)}=\frac{2y'}{1-y'^2} \end{eqnarray*}$

Das führt dann auf die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{x}{2} \cdot \left(\frac{1}{y'}-y' \right) \end{eqnarray*}$

Für x=0 hätten wir dann einen Grenzwert: (weil y'=0)
$\begin{eqnarray*} \\&& \lim_{x \to 0} \text{ } y = -\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{y'}=-\frac{x}{2}\cdot \frac{dx}{dy}=-b \\&& \int_{}^{} \! \frac{x}{2b} \, dx=\int_{ }^{ } \! \, dy +C \\&& \frac{x^2}{4b}=y+C \end{eqnarray*}$

somit ergibt sich für C=-b.
$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{x^2}{4b}-b \end{eqnarray*}$

kurze Kontrolle für allgemein x>0:
$\begin{eqnarray*} y(x)=-\frac{x}{2} \cdot \left(\frac{1}{y'}-y' \right)=-\frac{x}{2} \cdot \left(\frac{2b}{x}-\frac{x}{2b} \right)=\frac{x^2}{4b}-b \end{eqnarray*}$

Und wenn man möchte, dann kann die Kurve y(x) nachträglich in y-Richtung um b verschoben werden, sodass sich y*(x)=y+b ergibt, also der Brennpunkt im gewünschten Punkt (0,b) liegt.
$\begin{eqnarray*} y^*(x)=\frac{x^2}{4b} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann die Parabel, die jene Brennpunkteigenschaft aufweisen würde. Aber mit Sicherheit gibt es weitaus elegantere Wege dorthin als den von mir hier aufgezeigten Rechenpfad.

Gruß Conny

16.09.2025, 19:05

punktlandung3

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Zitat:

Original von Conny_1729

Für x=0 hätten wir dann einen Grenzwert: (weil y'=0)
$\begin{eqnarray*} \\&& \lim_{x \to 0} \text{ } y = -\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{y'}=-\frac{x}{2}\cdot \frac{dx}{dy}=-b \end{eqnarray*}$

Der nicht näher definierte Brennpunkt (er liegt senkrecht auf der Achse) fällt mit dem Scheitel zusammen und das ist der Lösungsweg!?
Das ist ja fantastisch, ist das überhaupt noch Mathematik.
Erstaunlich auch dass der Vorzeichenwechsel darin nicht stört.

O.k. vielleicht nicht Archimedes aber das ist bestimmt hilfreich.
Nächstes Jahr versuche ich es dann einmal numerisch auszutüfteln denn die Monotonie Eigenschaften sind ja auch ideal an dieser Funktion.

Bitte nichts verraten bis dahin Wink

16.09.2025, 19:56

Conny_1729

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Man kann natürlich auch mit den Augen des Physikers an diese Aufgabe herangehen, dann erspart man sich mitunter die Rechnerei mit dem Winkel phi. Denn eine Brennpunkteigenschaft wäre nämlich auch, dass die Summe der Brennstrahlen (gerechnet von einer beliebigen horizontalen Höhe h aus) immer konstant ist.

Brennpunkteigenschaft(Strahlensumme)

für x=0 wird dann die Brennstrahlsumme festgelegt mit:
$\begin{eqnarray*} L=h+b=const. \end{eqnarray*}$

Für x>0 berechnet sich die Länge L mit:
$\begin{eqnarray*} \\&& L=(h-y)+\sqrt{\left(y-b\right)^2+x^2 } \text{ }(=const.=h+b) \\&& \Rightarrow \left(y+L-h\right)^2=\left(y-b\right)^2+x^2 \\&& \Rightarrow \left(y+b\right)^2=\left(y-b\right)^2+x^2 \\&& \Rightarrow 4b\cdot y=x^2 \\&& \boxed {y=\frac{x^2}{4b}} \end{eqnarray*}$

Gruß Conny

16.09.2025, 20:32

Steffen Bühler

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Einen, wenn ich es richtig verstehe, weiteren Ansatz hat mir Google verraten:

Zitat:

Die Herleitung einer Parabel mithilfe der Brennpunkteigenschaft erfolgt meist über die geometrische Definition der Parabel als Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer festen Geraden (der Leitlinie l) den gleichen Abstand haben.

Dann werden die Abstände gleichgesetzt und nach y aufgelöst. Auch sehr elegant, finde ich.

17.09.2025, 09:45

Conny_1729

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Dann werden die Abstände gleichgesetzt und nach y aufgelöst. Auch sehr elegant, finde ich.

Das ist ein sehr guter Hinweis, der leider heutzutage im Schulstoff „Optik“ viel zu wenig Beachtung findet, dass sich bestimmte geometrische Eigenschaften (wie Reflexion, Brechung, fokale Sammelpunkte) mit zwei grundlegenden Prinzipien erschlagen lassen.

Während für die Eigenschaften –Reflexionsgesetz– und –Brechungsgesetz– das wirkungsvolle „Fermatsche Prinzip“ (Prinzip der kürzesten Zeit bzw. kürzesten Weges) gilt, kann man sich die Bündelung von verschiedenen Strahlenverläufen in einem Brennpunkt als „Methode der gleichen Zeiten bzw. Weglängen“ vorstellen.

Wie man gesehen hat, kann man bei einer Parabel (=Kegelschnitt!) beide Methoden anwenden, da die Reflexion von Parallelstrahlen als auch die Bündelung jener Strahlen in einen Brennpunkt gelten muss.

Gruß Conny

17.09.2025, 18:29

Conny_1729

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Und hier ist noch eine ganz andere Variante, um über den Brennpunktabstand b eine Parabel konstruieren zu können ...

Kann man ableiten aus einem Thread vergangener Tage: Kreise in Parabel

Gruß Conny
.

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