Basler Problem

21.09.2025, 21:55

voessli

Basler Problem

Hier mal ein gutes Video zur harmonischen Reihe und der Lösung dieser Reihe: Summe 1/(x(x+1)/2) von Leibniz.
Allerdings verstehe ich nicht den Ansatz von Euler, eine Funktion anzunehmen, die die Eigenschaft hat: P(0)=1
Bezieht er sich auf den Cosinus? (ab min. 28.00)
https://youtu.be/CC2DG391HmA?t=1681

22.09.2025, 08:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von voessli
Video zur harmonischen Reihe und der Lösung dieser Reihe: Summe 1/(x(x+1)/2) von Leibniz.

Bei dieser konfusen Zusammenstückelung einiger Aspekte dieses Videos stellen sich einem die Nackenhaare auf. geschockt

Ich hab das Video nur rasch durchgezappt (und ohne Ton): Augenscheinlich geht es um die Verbindung der Taylorreihen von Sinus- und Kosinusfunktion zu den (sich aus den Nullstellen ergebenden) Produktdarstellungen

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = x\prod_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2}\right) \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \prod_{k=1}^{\infty}\left(1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2}\right) \end{eqnarray*}$ gültig für alle reellen (und sogar auch komplexen) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ,

um damit den Reihenwert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

22.09.2025, 19:35

voessli

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Hallo Hal,

Sie können die deutsche Syncro über die Einstellung Audiotrack auf Englisch umschalten. Wie gesagt halte ich das Video bis zum eigentlichen Problem durchaus für sehenswert und professionell gestaltet.
Fraglich bleibt für mich Eulers Annahme, die besagte (ominöse) Funktion P(0)=1 zu setzen.

23.09.2025, 06:08

HAL 9000

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Ich kann nicht nachvollziehen, was es an der Stelle zu grübeln gibt:

Ein Polynom $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Grades besitzt $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgrade (z.B. dessen Koeffizienten). Im vorliegenden Fall werden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ davon durch die Vorgabe der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen belegt, und Nr. $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ durch die Forderung $\begin{eqnarray*} P(0)=1 \end{eqnarray*}$ (letztere ist erfüllbar, sofern die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen alle von Null verschieden sind). Durch diese n+1 Forderungen ist dann $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt.

Später dann im Video wird das (allerdings im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ) auf die analytische Funktion

$\begin{eqnarray*} \operatorname{si}(x) = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }x=0\\ \displaystyle\frac{\sin(x)}{x}&\mbox{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

angewandt, welche die Nullstellen $\begin{eqnarray*} \pm \pi,\pm 2\pi,\pm 3\pi,\ldots \end{eqnarray*}$ besitzt, denn für diese Funktion gilt ja ebenfalls $\begin{eqnarray*} \operatorname{si}(0)=1 \end{eqnarray*}$ - genauer gesagt besitzt sie die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \operatorname{si}(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots \end{eqnarray*}$ .

D.h. du bist zu ungeduldig: Nimm es an der Stelle einfach hin, dass $\begin{eqnarray*} P(0)=1 \end{eqnarray*}$ da gefordert wird - später wird klar, warum.

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