Invertierbarkeit und eindeutige Lösung

15.10.2025, 20:26	Student15102025	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit und eindeutige Lösung Hallo, es geht um folgende Behauptung: Sei $\begin{eqnarray} (M,,e) \end{eqnarray}$ ein Monoid. Die Gleichung $\begin{eqnarray} a * x = b \end{eqnarray}$ besitzt genau dann für jedes $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ eine eindeutige Lösung, wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ invertierbar ist. In diesem Fall ist $\begin{eqnarray} x = a^{-1} * b \end{eqnarray}$ die eindeutige Lösung. Ich würde nun die Richtung <= zeigen. Annahme ist, für jedes $\begin{eqnarray} b \in M \end{eqnarray}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a * x = b \end{eqnarray}$ , Setzt man $\begin{eqnarray} b = e \end{eqnarray}$ (neutrales Element), dann gibt es genau ein $\begin{eqnarray} x' \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a * x' = e \end{eqnarray}$ . Wir setzen $\begin{eqnarray} a^{-1} := x' \end{eqnarray}$ und zeigen nun, dass $\begin{eqnarray} a^{-1} * a = e \end{eqnarray}$ , also dass $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ auch von links invertiert. Wir betrachten $\begin{eqnarray} a * x = b \end{eqnarray}$ und setzen $\begin{eqnarray} b = a^{-1} * a \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} a * x = a^{-1} * a \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} x = a^{-1} \end{eqnarray}$ löst die Gleichung $\begin{eqnarray} a * a^{-1} = e = a^{-1} * a \end{eqnarray}$ was impliziert, dass $\begin{eqnarray} a * a^{-1} = a^{-1} * a \end{eqnarray}$ , damit ist $\begin{eqnarray} a^{-1} * a = e \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ ein beidseitiges Inverses von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray*}$ invertierbar. Darf man das so machen? Seht Ihr irgendwelche Fehler? Danke für die Korrektur!
16.10.2025, 00:06	micha108	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} x=a^{-1} \end{eqnarray}$ löst zwar $\begin{eqnarray} ax=e \end{eqnarray}$ , aber wo zeigst du, dass es auch $\begin{eqnarray} ax=a^{-1}a \end{eqnarray}$ löst? Üblicherweise nutzt man tatsächlich die Eindeutigkeit, aber etwas anders: Sei $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ die eindeutige Lösung von $\begin{eqnarray} ax=e \end{eqnarray}$ . (1) Weiter sei $\begin{eqnarray} c:=x'a \end{eqnarray}$ . (2) Wie betrachten $\begin{eqnarray} ac=a(x'a)=(ax')a\stackrel{(1)}{=}ea=a \end{eqnarray}$ . (3) Demnach ist $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eindeutige Lösung von $\begin{eqnarray} ax=a \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ auch eine ist, muss $\begin{eqnarray} c=x'a=e \end{eqnarray}$ gelten. Mfg Michael
21.10.2025, 20:50	Student15102025	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Wenn ich "<=" zeigen wollte. Also Angenommen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist invertierbar also $\begin{eqnarray} a^{-1} a = a * a^{-1} = e \end{eqnarray}$ , dann zeige ich, dass für jedes $\begin{eqnarray} b \in M \end{eqnarray}$ hat die Gleichung $\begin{eqnarray} ax = b \end{eqnarray}$ genau eine Lösung. Existenz: Sei $\begin{eqnarray} b \in M \end{eqnarray}$ beliebig, ich prüfe, dass $\begin{eqnarray} x = a^{-1} b \end{eqnarray}$ nun $\begin{eqnarray} a * x = a * (a^{-1} * b) = (a * a^{-1}) * b = e * b = b \end{eqnarray}$ erfüllt. Eindeutigkeit: Angenommen es gäbe zwei Lösungen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a * x = b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a * y = b \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} ax=b = ay \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ invertierbar ist, darf ich mit $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ von links multiplizieren, dann ist $\begin{eqnarray} a^{-1} * (a * x) = a^{-1} * (ay) \end{eqnarray}$ und die Assoziativität liefert nun $\begin{eqnarray} (a^{-1} a) * x = (a^{-1} * a ) * y \Rightarrow e * x= e * y \Rightarrow x=y \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray*}$ eindeutig. Geht das? Falls nein, wo genau ist mein Fehler? Danke
21.10.2025, 22:43	micha108	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das ist alles korrekt so. Mfg Michael

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