Produkt mit alternierenden Verhältnissen

23.10.2025, 16:28	Justice	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt mit alternierenden Verhältnissen Hallo zusammen Ich habe mich etwas mit Produkt Funktionen mit alternierenden Brüchen versucht und bin auf spannende Erkenntnisse gestossen und bei geschieht ewas ganz spezielles. Ich behaubte da sind elementare mathematische Grundzüge am werk, so wie z.b. die Nullstellen auf der 1/2 Achse riemann zeta funktion. Oder auch so wie in der Formel für die Fortplatzung wo sie dem einen Wert Chaotisch wird. Hier mal die Prinzipielle Formel: $\begin{eqnarray} \prod\limits_{x=1}^{Limit} f(x)^{(-1)^{x mod 2}} \end{eqnarray}$ Dieser Exponent $\begin{eqnarray} (-1)^{x mod 2} \end{eqnarray}$ , dient legentlich, dass f(x) als bruch nenner und zähler alternieren. Nun habe ich diverse f(x) Brüche und "Limit"'s ausprobiert. Und einer davon ist auch bald im oeis.org Mit $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x-1}{2x} \end{eqnarray}$ ergibt sich die Bruch-Multiplikationskette: $\begin{eqnarray} \frac{2}{1}\frac{3}{4}\frac{6}{5}\frac{7}{8}... \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} Limit=\infty \end{eqnarray}$ ergibt das konvergierend $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2\pi }}{\Gamma(3/4)^{2} } \end{eqnarray}$ mit Gamma-Funktion: $\begin{eqnarray} \Gamma(n) = (n-1)! \end{eqnarray}$ Aber ein f(x)-Bruch ist besonders speziell: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-ln^{3}(x^{2} ) } \end{eqnarray}$ Bis Limit = 100 alteniert es um +5 dann wird es stetig negativer und in unmitelbarer nähe explodiert das Resultat bei Limit = 4912 zum Endwert -8043.62... (siehe Bilder) Und mit grösseren Zahlen ab Limit > 4920 konvertiert* das Produkt zu der zahl $\begin{eqnarray} -72.26... \end{eqnarray}$ Die Frage nun ist das ein Gleikommavariablen-Speichergrösse-Problem, wo die limitierte Genauigkeit beim Berechnen zu Fehler fürt? Kann sein, aber ich erhalte bei Wolfram alpha die exact gleichen resulate wie in Python. Natürlich können beide die gleichen Speichergrössen für Gleitkommazahlen verwenden. Deshalb wäre spannend wenn man noch weiter Programme mit dieser Funktion betreuen würde... ABER: Ich habe im Pythonprogramm die float varialben zur berechnung des Produktwerts ersetzt mit varialben von der "Decimal" bibliothek wo man die gleitkomma-genauigkeit vorgeben kann. auch wenn ich da eine präzision von 5000 nachkommastellen angebe erhalte ich immer die gleichen resultate.... Was meint ihr? [attach]58357[/attach][attach]58359[/attach] hier noch die funktion f(x): $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-ln^{2}(x^{2} ) } \end{eqnarray}$ mit einem Peak bei Limit = 74 mit Produktwert= 969.3 und konvergiert zu $\begin{eqnarray} +56.7.... \end{eqnarray}$ [attach]58360[/attach] EDIT: Ich habe bemerkt mann kann auch wirklich vereinfach die Funktion f(x) zu: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x-ln(x^{r}) } \end{eqnarray}$ , bei $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl sein kann. Wobei die negativen ergeben den maximal wert bei 1.0... bei x = 3.
07.11.2025, 17:36	Stranger0	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Punkt, an dem der Graph so stark ausschlägt, ist ein Näherungswert einer Nullstelle des Nenners $\begin{eqnarray} x-\ln(x^2)^3 \end{eqnarray}$ . Diese Nullstelle liegt mit etwa $\begin{eqnarray} 4912,04 \end{eqnarray}$ sehr nah bei $\begin{eqnarray} x=4912 \end{eqnarray}$ , daher ist der Faktor an dem Punkt sehr groß. Wenn man sich die Graphen anschaut, fällt auf, dass das Produkt bis zu diesem Punkt immer zwischen positiven und negativen Werten alterniert, jedoch nach dem Passieren der näherungsweisen Nullstelle, das Vorzeichen gleich bleibt. was eben daran liegt, dass der Nenner von f vorher negativ war und danach positiv.

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