Mit welchen Annahmen Inklusion zeigen?

23.10.2025, 21:44	Student15102025	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit welchen Annahmen Inklusion zeigen? Hallo, wenn $\begin{eqnarray} U \subset V \end{eqnarray}$ ein endlichdimensionaler Vektortraum ist, kann man leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} U \subset (U^{\perp})^{\perp} \end{eqnarray}$ gilt. Aber warum ist es schwieriger die andere inklusion $\begin{eqnarray} U^{\perp})^{\perp} \subset U \end{eqnarray}$ zu zeigen? Warum braucht man für diese letzte Inklusion unbedingt $\begin{eqnarray} V = U \oplus U^{\perp} \end{eqnarray}$ ?
24.10.2025, 10:28	micha108	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo miteinander, ja, das orthogonale Komplement ist vor allem auch ein Komplement. Siehe etwa de.wikipedia.org/wiki/Komplement%C3%A4rraum]. Das Komplement $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ eines Untervektorraums $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ des Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ zeichnet sich durch $\begin{eqnarray} V=U\oplus W \end{eqnarray}$ . Dichter am orthogonalen Komplement: * $\begin{eqnarray} U\subseteq\left(U^\perp\right)^\perp \end{eqnarray}$ gilt allgemeint. (Also auch bei nicht endlich-dimensionalen Vektorräumen.) * $\begin{eqnarray} \left(U^\perp\right)^\perp\subseteq U \end{eqnarray}$ dagegen scheint mir eine Eigenschaft endlich-dimensionaler Vektorräume zu sein. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen jedenfalls kann $\begin{eqnarray} U\oplus U^\perp \end{eqnarray}$ ein echter Unterraum sein. Mfg Michael
06.05.2026, 11:44	yogibär	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hat entscheidend damit zu tun, dass dein Skalarprodukt definit ist. Demnn stell dir vor, ein ( von Null verschiedener ) Vektor liegt in U ^ ( U ) T Ein solcher Vektor würde doch AUF SICH SELBER SENKRECHT STEHEN . Mit Sicherheit kennst du auch aus der Physik ein solches Beispiel. Den \|R ^ 4 der SRT mit der Minkovskymetrik ( + ; - ; - ; - ) Hier stehen alle " lichtartigen " Vektoren auf sich selber senkrecht, die also auf der Oberfläche des Zukunftskegels liegen.

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