Differentialgleichung

10.09.2004, 12:50	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Hallo! Wie könnte ich folgende DGL lösen? $\begin{eqnarray} f''(x) - x \cdot f(x) = 0 \end{eqnarray}$ MfG, Gustav
10.09.2004, 13:00	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab leider mein Mathe-Skript nicht zur Hand (Semesterferien), aber Du brauchst erstmal eine partikuläre Lösung.
10.09.2004, 18:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach E. Kamke, Differentialgleichungen, Teubner 1983, Seite 440 sind die Lösungen der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y''-xy=0 \end{eqnarray}$ nicht durch elementare Funktionen ausdrückbar. Es gibt eine Möglichkeit, sie mit Hilfe von Zylinderfunktionen, die wiederum mit den Besselschen Funktionen zusammenhängen, anzugeben. Mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes habe ich die beiden linear unabhängigen Lösungen $\begin{eqnarray} u=u(x)=\sum_{k=0}^\infty~{\frac{x^{3k}}{(2 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 6) \cdot (8 \cdot 9) \dots ([3k-1] \cdot [3k])}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=v(x)=\sum_{k=0}^\infty~{\frac{x^{3k+1}}{(3 \cdot 4) \cdot (6 \cdot 7) \cdot (9 \cdot 10) \dots ([3k] \cdot [3k+1])}} \end{eqnarray}$ gefunden. Der Konvergenzradius ist $\begin{eqnarray} R=\infty \end{eqnarray}$ , so daß die Lösungen in ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ existieren. Alle Lösungen der linearen Differentialgleichung erhält man dann als Linearkombinationen $\begin{eqnarray} y=\lambda u + \mu v \end{eqnarray}$ mit konstanten $\begin{eqnarray} \lambda,\mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$
10.09.2004, 22:06	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt also keinen expliziten Term für diese Potenzreihen? Naja... trotzdem danke :-)
11.09.2004, 02:20	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich bin mir gerade nicht sicher, aber wenn die gleichung y''-cy=0 lauten würde, dann könnte man ja einfach je nachdem ob c größer, kleiner oder gleich null ist, ein entsprechendes fundamentalsystem aufstellen.. sollte sich in jeder formelsammlung finden. aber ob man das auch machen kann wenn c keine konstante ist, weiss ich nicht. würde mich aber mal interessieren...

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