Wahrscheinlichkeit bei Gewinnspiel

29.10.2025, 13:56

EfronStein

Wahrscheinlichkeit bei Gewinnspiel

Meine Frage:
Hier eine interessante Frage, die ich kürzlich bei einem Bewerbungsgespräch lösen sollte. Drei Spieler wählen nacheinander Punkte auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, 1] \end{eqnarray*}$ . Nach allen drei Zügen wird eine Zahl zufällig uniform gezogen und der Spieler, dessen Punkt dieser am nächsten liegt, gewinnt. Du bist der dritte Spieler, kennst die Punkte der ersten beiden Spieler und kannst deinen Punkt strategisch wählen.

1) Was ist die beste Strategie?
2) Wenn die ersten beiden Spieler kooperieren mit dem Ziel deine Gewinnwahrscheinlichkeit zu minimieren, wie hoch ist diese dann?
3) Die ersten beiden Spieler wählen ihre Punkte jeweils zufällig (uniform), wie hoch ist deine erwartete Gewinnwahrscheinlichkeit?

Meine Ideen:
Die ersten beiden Fragen sind ja relative leicht, jedoch kam ich bei Punkt 3) etwas ins Schwitzen. Letztendlich habe ich etwas getrickst und grobe Schätzungen gemacht mit dem Ergebnis ungefähr 60%.

Gibt es hier einen Trick, wie man das berechnen kann?

29.10.2025, 20:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von EfronStein
Die ersten beiden Fragen sind ja relative leicht

Und was hast du dort erhalten?

Bei 3) habe ich Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{19}{36} \end{eqnarray*}$ heraus, aber mit Details rücke ich erst heraus, wenn du meine Nachfrage zu 1)2) beantwortest. Augenzwinkern

29.10.2025, 22:12

EfronStein

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Zur 1) hat man ja 3 Lücken. Setzen die ersten beiden Spieler ihre Punkte auf $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mit o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , so ist meine maximale Gewinnwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p = \text{max} \left\{a,1-b, \frac{b-a}{2}\right\}/latex]. Wählt man den Punkt zwischen dem Rand vom Intervall und einem der beiden Punkte, so maximiert man die Wahrscheinlichkeit indem der eigene Punkt so nah wie möglich am ursprünglichen gewählt wird. Wählt man z.B. die erste Lücke, so platziert man seinen Punkt bei [latex] a-\epsilon \end{eqnarray*}$ . Wählt man einen Punkt zwischen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , so erhält man unabhängig von der Wahl des Punktes stets die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ . Von den 3 Varianten wählt man letztendlich das Maximum.

Bei der 2) ist die erste Vermutung, dass die Lösung angenommen wird, wenn die beiden Spieler die 3 Größen zum gleichen Wert zwingen können. Dies geschieht bei der Wahl $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ . Dies führt zu Gewinnwahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} p =\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ für den letzen Spieler und man sieht schnell, dass es sich hier um das Optimum handelt. Würden einer der ersten beiden Spieler näher an den Rand rücken, so würde die Wahrscheinlichkeit in der Mitte auf über 0.25 wachsen.

30.10.2025, 06:39

HAL 9000

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Ja, so hab ich das auch:

$\begin{eqnarray*} p(a,b) = \max \left\{a,1-b, \frac{b-a}{2}\right\} \end{eqnarray*}$ ist die bedingte Siegwahrscheinlichkeit für Spieler 3 bei optimaler Spielweise, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Minimum und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Maximum der ersten beiden Punkte sind.

3) Bei zufälliger Wahl der ersten beiden Punkte ist $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt auf der Dreiecksfläche $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq b\leq 1 \end{eqnarray*}$ (d.h. der Dichtewert dort ist konstant gleich 2), demzufolge ist

$\begin{eqnarray*} 2\int\limits_0^1 \int\limits_a^1 p(a,b) ~ \dd b ~ \dd a = \frac{19}{36} \end{eqnarray*}$

die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit. Zur Illustration von $\begin{eqnarray*} p(a,b) \end{eqnarray*}$ möge folgende Skizze des Integrationsgebiets dienen:

[attach]58382[/attach]

02.11.2025, 14:36

Bobby Fischer

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Für ein Bewerbungsgespräch ist das aber ganz schön komplex, in welchen Branchen werden denn solche Fragen gestellt?

Ich habe die Aufgabe selber auch einmal probiert, aber trotz der Skizze verstehe ich nicht, wie man das Integral schnell ausrechnen kann? Muss man hier nicht ein Dutzend Fallunterscheidungen vornehmen oder gibt es da einen einfachen Trick?

03.11.2025, 13:38

HAL 9000

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Mit "schnell" kann ich leider nicht dienen, eher mit "nicht wirklich schwer, aber mühsam geduldig".

Eine kleine Erleichterung kann man sich schaffen, wenn man eine Symmetrie ausnutzt: Es ist $\begin{eqnarray*} q:=\int\limits_0^1 \int\limits_a^1 p(a,b) ~ \dd b ~ \dd a = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \int\limits_a^{1-a} p(a,b) ~ \dd b ~ \dd a + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 \int\limits_{1-b}^b p(a,b) ~ \dd a ~ \dd b \end{eqnarray*}$ .

Und beim zweiten Teilintegral subsitutiert man $\begin{eqnarray*} a'=1-b,b'=1-a \end{eqnarray*}$ und erhält $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 \int\limits_{1-b}^b p(a,b) ~ \dd a ~ \dd b = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \int\limits_{a'}^{1-a'} p\left(1-b',1-a'\right) ~ \dd b' ~ \dd a' \stackrel{!}{=} \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \int\limits_{a'}^{1-a'} p\left(a',b'\right) ~ \dd b' ~ \dd a' \end{eqnarray*}$ , letzteres wegen $\begin{eqnarray*} p\left(1-b',1-a'\right) = p\left(a',b'\right) \end{eqnarray*}$ . Insgesamt ist daher $\begin{eqnarray*} q=4\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \int\limits_a^{1-a} p(a,b) ~ \dd b ~ \dd a \end{eqnarray*}$ und nun muss man notgedrungen entsprechend der obigen Gebietsdarstellung aufteilen:

$\begin{eqnarray*} q = 4\int\limits_0^{\frac{1}{4}} \int\limits_a^{\frac{2+a}{3}} (1-b) ~ \dd b ~ \dd a + 4\int\limits_0^{\frac{1}{4}} \int\limits_{\frac{2+a}{3}}^{1-a} \frac{b-a}{2} ~ \dd b ~ \dd a + 4\int\limits_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \int\limits_a^{1-a} (1-b) ~ \dd b ~ \dd a \end{eqnarray*}$ .

Ja, da kommt schon einige Rechnerei zusammen. Ich hab's mit dem CAS erledigt, aber ich schreib auch mal die ganze Ochsentour auf:

$\begin{eqnarray*} q = \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \left[ 4b-2b^2\right]_{b=a}^{\frac{2+a}{3}} ~ \dd a + \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \left[b^2-2ab\right]_{b=\frac{2+a}{3}}^{1-a} ~ \dd a + \int\limits_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \left[ 4b-2b^2\right]_{b=a}^{1-a} ~ \dd a = \frac{1}{9} \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \left[ 16-32a+16a^2\right] ~ \dd a + \frac{1}{9} \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \left[ 5-28a+32a^2 \right] ~ \dd a + \int\limits_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \left[ 2- 4a\right] ~ \dd a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{16}{27} \left[ 3a-3a^2+a^3\right]_{a=0}^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{27} \left[ 15a-42a^2+32a^3 \right]_{a=0}^{\frac{1}{4}} + \left[ 2a- 2a^2\right]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} = \frac{37}{108} + \frac{13}{216} + \frac{1}{8} = \frac{19}{36} \end{eqnarray*}$ .

Kann sein, dass es einfacher geht, aber ich such jetzt nicht ewig nach einem eleganteren Weg.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass man 3) in einem Bewerbungsgespräch wirklich ausrechnen soll - allenfalls einen Lösungsweg skizzieren. Was man sofort sagen kann ist, dass die erwartete Gesamtwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \geq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ sein muss, was der dritte Spieler nämlich bereits erreicht, wenn auch er seinen Punkt zufällig im Intervall wählt (d.h. unabhängig von der ihm ja eigentlich bekannten Positionen 1 und 2). Bei optimaler Spielweise muss der Wert selbstredend mindestens so groß sein.

EDIT: Eine kleine Rechenersparnis bringt der "Subtraktionstrick"

$\begin{eqnarray*} q = 4\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \int\limits_a^{1-a} (1-b) ~ \dd b ~ \dd a + 4\int\limits_0^{\frac{1}{4}} \int\limits_{\frac{2+a}{3}}^{1-a} \left(\frac{b-a}{2}-(1-b)\right) ~ \dd b ~ \dd a \end{eqnarray*}$

damit ist dann

$\begin{eqnarray*} q = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \left[ 4b-2b^2\right]_{b=a}^{1-a} ~ \dd a + \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \left[3b^2-2ab-4b\right]_{b=\frac{2+a}{3}}^{1-a} ~ \dd a = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \left[ 2- 4a\right] ~ \dd a + \frac{1}{3} \int\limits_0^{\frac{1}{4}} \left[ 1-8a+16a^2 \right] ~ \dd a = \left[ 2a- 2a^2\right]_{a=0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{9} \left[ 3a-12a^2+16a^3 \right]_{a=0}^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{36} = \frac{19}{36} \end{eqnarray*}$ .

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